Denote por $\pi_p^i$ la proyección canónica de $\displaystyle\prod_{i\in I}C^p(X_i,G)$ en $C^p(X_i,G)$ . Para $p\geq 0$ defina $\prod_{i\in I}\text{res}_p^i$ como el único homomorfismo tal que el diagrama
$$\require{AMScd} \def\diaguparrow#1{\smash{ \raise.6em\rlap{\scriptstyle #1} \lower.3em{\mathord{\diagup}} \raise.52em{\!\mathord{\nearrow}} }} \begin{CD} && \prod_{i\in I}C^p(X_i,G)\\ & \diaguparrow{\prod_{i\in I}\text{res}_p^i} @VV \pi_p^i V \\ C^p\big(\coprod_{i\in I}X_i,G) @>> \text{res}_p^i> C^p(X_i,G) \end{CD}$$
Desplazamientos, donde $\text{res}_p^i$ se define mediante: para cada $\displaystyle\phi\in C^p\big(\coprod_{i\in I}X_i,G\big),\;\text{res}_p^i(\phi)=\phi|_{C_p(X_i)}$
En efecto, $\prod_{i\in I}\text{res}_p^i$ es un homomorfismo bien definido, según la propiedad universal del producto directo de grupos. Además, mediante varias aplicaciones de este resultado, se puede demostrar que este mapa es efectivamente un isomorfismo, para cada $p\geq 0$ .
Defina $\delta'_p$ como el único homomorfismo tal que el diagrama:
$$\require{AMScd} \def\diaguparrow#1{\smash{ \raise.6em\rlap{\scriptstyle #1} \lower.3em{\mathord{\diagup}} \raise.52em{\!\mathord{\nearrow}} }} \begin{CD} && \prod_{i\in I}C^{p+1}(X_i,G)\\ & \diaguparrow{\delta'_p} @VV \pi_{p+1}^i V \\ \prod_{i\in I}C^p(X_i,G) @>> \delta_p^i\circ\pi_p^i> C^{p+1}(X_i,G) \end{CD}$$
Desplazamientos. En otras palabras, $\delta'_p=\prod_{i\in I}\delta_p^i\circ\pi_p^i$ Eso es, $\delta'_p$ es el homomorfismo definido por:
$$\delta'_p:\prod_{i\in I}C^p(X_i,G)\rightarrow\prod_{i\in I}C^{p+1}(X_i,G)$$
$$(\phi_i)_{i\in I}\;\;\longmapsto\;\;(\delta_p^i\circ\phi_i)_{i\in I}$$
Dónde $\delta_p^i:C^p(X_i,G)\longrightarrow C^{p+1}(X_i,G)$ no es más que la retricción de $\displaystyle\delta_p:C^p(\coprod_{i\in I}X_i,G)\longrightarrow C^{p+1}(\coprod_{i\in I}X_i,G)$ a $C^p(X_i,G)$
Por un lado, $\delta'_{p+1}\circ\delta'_p=0$
Sea $\displaystyle(\phi_i)_{i\in I}\in\prod_{i\in I}C^p(X_i,G)$ . Entonces:
$$(\delta'_{p+1}\circ\delta'_p)((\phi_i)_{i\in I})=(\delta'_{p+1}((\delta_p^i\circ\phi_i)_{i\in I}))=(\delta_{p+1}^i\circ\delta_p^i\circ\phi_i)_{i\in I}=((\delta_{p+1}\circ\delta_p)|_{C^p(X_i,G)}\circ\phi_i)_{i\in I}=(0\circ\phi_i)_{i\in I}=(0)_{i\in I}$$
Tenemos los siguientes complejos de cochainas: $$\require{AMScd} \begin{CD} \dots@>\delta_{p-1}>>C^p\big(\coprod_{i\in I}X_i,G\big)@>\delta_p>>C^{p+1}\big(\coprod_{i\in I}X_i,G\big)@>\delta_{p+1}>>\dots\\ @.@V\prod_{i\in I}\text{res}_p^iV\cong V@V\prod_{i\in I}\text{res}_{p+1}^iV\cong V@. \\ \dots@>\delta'_{p-1}>>\prod_{i\in I}C^p(X_i,G)@>\delta'_p>>\prod_{i\in I}C^{p+1}(X_i,G)@>\delta'_{p+1}>>\dots \end{CD}$$
Por otro lado tenemos que $\delta_p'\circ\prod_{i\in I}\text{res}_p^i=\prod_{i\in I}\text{res}_{p+1}^i\circ\delta_p$ .
Sea $\displaystyle\phi\in C^p\big(\coprod_{i\in I}X_i,G\big)$ . Entonces:
$$(\delta'_p\circ\prod_{i\in I}\text{res}_p^i)(\phi)=\delta'_p((\phi|_{C_p(X_i)})_{i\in I})=(\delta_p^i\circ\phi|_{C_p(X_i)})_{i\in I}=(\delta_p|_{C^p(X_i,G)}\circ\phi|_{C_p(X_i)})_{i\in I}=((\delta_p\circ\phi)|_{C^{p+1}(X_i,G)})_{i\in I}=(\text{res}_{p+1}^i(\delta_p(\phi)))_{i\in I}=\big(\prod_{i\in I}\text{res}_{p+1}^i\circ\delta_p\big)(\phi)$$
Desde $\prod_{i\in I}\text{res}_\bullet^i:C^\bullet\displaystyle\big(\coprod_{i\in I}X_i,G\big)\longrightarrow\prod_{i\in I}C^\bullet(X_i,G)$ es un mapa de co-cadena, induce homomorfismos en cohomología:
$$(\prod_{i\in I}\text{res}_p^i)^*:H^p\big(\coprod_{i\in I}X_i;G)\longrightarrow\frac{\text{Ker }\delta'_p}{\text{Im }\delta'_{p-1}}$$
Para todos $p\geq 0$ . Desde $\prod_{i\in I}\text{res}_p^i$ es un isomorfismo para cada $p\geq 0$ se deduce que $(\prod_{i\in I}\text{res}_p^i)^*$ también es un isomorfismo. Ahora:
$$(*)\quad\frac{\text{Ker }\delta'_p}{\text{Im }\delta'_{p-1}}\cong\frac{\text{Ker }\prod_{i\in I}\delta_p^i\circ\pi_p^i}{\text{Im }\prod_{i\in I}\delta_{p-1}^i\circ\pi_{p-1}^i}\cong\frac{\prod_{i\in I}\text{Ker }\delta_p^i\circ\pi_p^i}{\prod_{i\in I}\text{Im }\delta_{p-1}^i\circ\pi_{p-1}^i}$$
Donde el último isomorfismo se debe a que las proyecciones $\delta_p^i\circ\pi_p^i$ determinar completamente el mapa $\delta'_p$ .
Debemos demostrarlo:
$$\frac{\prod_{i\in I}\text{Ker }\delta_p^i\circ\pi_p^i}{\prod_{i\in I}\text{Im }\delta_{p-1}^i\circ\pi_{p-1}^i}\cong\prod_{i\in I}\frac{\text{Ker }\delta_p^i}{\text{Im }\delta_{p-1}^i}$$
Para ello, definimos el mapa:
$$F:\prod_{i\in I}\text{Ker }\delta_p^i\circ\pi_p^i\longrightarrow\prod_{i\in I}\frac{\text{Ker }\delta_p^i}{\text{Im }\delta_{p-1}^i}$$
$$(\phi)_{i\in I}\longmapsto([\phi_i])_{i\in I}$$
Claramente $F$ está bien definida, ya que ser cohomólogo es una relación de equivalencia. $F$ también es un homomorfismo de grupo; además, su núcleo es $\displaystyle\prod_{i\in I}\text{Im }\delta_{p-1}^i\circ\pi_{p-1}^i$
Para demostrarlo, supongamos primero que $\displaystyle(\phi_i)_{i\in I}\in\prod_{i\in I}\text{Im }\delta_{p-1}^i\circ\pi_{p-1}^i$ . Entonces existe $\displaystyle(\psi_i)_{i\in I}\in\prod_{i\in I}C^{p-1}(X_i,G)$ tal que:
$$\phi_i=\delta_{p-1}^i\circ\psi_i$$
Por lo tanto:
$$F((\phi_i)_{i\in I})=([\phi_i]_{i\in I})=([\delta_{p-1}^i\circ\psi_i])_{i\in I}=([0])_{i\in I}$$
Por otra parte, si $(\phi_i)_{i\in I}\in\text{Ker }F$ entonces $([\phi_i])_{i\in I}=([0])_{i\in I}$ lo que sólo puede ocurrir si $[\phi_i]=[0]$ para todos $i\in I$ . Pero esto implica que, para cada $i\in I$ existe un mapa $\psi_i:C_{p-1}(X_i)\longrightarrow G$ tal que:
$$\phi_i=\delta_{p-1}^i\circ\psi_i$$
Por lo tanto, $\phi_i\in\text{Im }\delta_{p-1}^i\circ\pi_{p-1}^i$ para cada $i\in I$ o lo que es lo mismo, $\displaystyle(\phi_i)_{i\in I}\in\prod_{i\in I}\text{Im }\delta_{p-1}^i\circ\pi_{p-1}^i$
Ahora, según el primer teorema de isomorfismo, podemos concluir que:
$$\frac{\prod_{i\in I}\text{Ker }\delta_p^i\circ\pi_p^i}{\text{Ker }F}\cong\frac{\prod_{i\in I}\text{Ker }\delta_p^i\circ\pi_p^i}{\prod_{i\in I}\text{Im }\delta_{p-1}^i\circ\pi_{p-1}^i}\cong\prod_{i\in I}\frac{\text{Ker }\delta_p^i}{\text{Im }\delta_{p-1}^i}\cong\prod_{i\in I}H^p(X_i;G)$$
Ahora, desde $(*)$ concluimos que
$$H^p\big(\coprod_{i\in I}X_i;G\big)\cong\frac{\text{Ker }\delta'_p}{\text{Im }\delta'_{p-1}}\cong\prod_{i\in I}H^p(X_i;G)$$
Como desee.
