Encontrar la forma cerrada de $\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{k+n} \frac{\log(k+n)}{k n}$

Question

Hace un tiempo me calculada con bastante facilidad la serie $\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{k+n} \frac{\log(k+n)}{k+ n}$ y entonces pensé en abordar el caso de que tenemos el producto en lugar de la suma en el denominador, pero esto se parece mucho más difícil que el anterior. ¿Qué sugeriría usted que yo haga?

$$\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{k+n} \frac{\log(k+n)}{k n}$$

Answer 1

Por Frullani integral, $$\log(k+n)=\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-x}-e^{-(k+n)x}}{x}\,dx \tag{1}$$ y desde $\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{z^k}{k}=-\log(1-z)$ tenemos: $$ \sum_{k,n\geq 1}\frac{(-1)^{k+n}}{kn}=\log^2 2\tag{2}$$ y la suma total es igual a: $$\int_{0}^{+\infty}\left(e^{-x}\log^2 2 -\log^2(1+e^{-x})\right)\frac{dx}{x}=\int_{0}^{1}\frac{\log^2(1+t)-t \log^2 2}{t \log t}\,dt\tag{3}$$ que no es tan horrible.