Si $f(z) = u +iv$ es una función compleja tal que $u$ y $v$ son ambas armónicas, es $f(z)$ ¿necesariamente analítica?

Question

Sé que todas las funciones armónicas surgen como las partes reales de las analíticas; sin embargo, no estoy seguro de cuál es la respuesta correcta a la pregunta. Creo que si $u$ y $v$ son armónicas entonces tiene que ser analítica ya que una función analítica es aquella de la que podemos tomar la derivada y diferenciar. Para comprobar si una función es armónica o no, tenemos que tomar la segunda derivada parcial de $u$ y $v$ que sólo puede hacerse si una función es continua. ¿Es correcto mi proceso de pensamiento o tengo algún agujero/error en mi proceso de pensamiento y respuesta?

Answer 1

Pista: $u(x,y) = x$ es armónico. Es $x+ix$ ¿analítico?

Answer 2

No, $v$ tiene que ser el conjugado armónico de $u$ es decir $u$ y $v$ tienen que satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann: $$\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}$$ y $$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}.$$ Si $u$ es armónico, siempre hay una solución de éstos para $v$ localmente, es decir, en la vecindad de un punto dado.

Answer 3

Creo que estás confundiendo algunas cosas:
1)Si una función es analítica, se puede escribir (localmente) como una serie de potencias.

2)Una función es armónica dada $\Delta u=0$ donde $\Delta$ es el operador de Laplace.

3)Una función compleja es holomorfa (o analítica) si cumple la Ec de Cauchy-Riemann y es totalmente diferenciable como función real (desde y hacia $\mathbb{R}^2$ ). Esto implica que la parte real e imaginaria de $f(z)$ tienen que ser al menos diferenciables una vez.

Sin embargo, esas cosas implican algunas cosas:
Cualquier función armónica real es analítica.
Las partes real e imaginaria de una función compleja holomórfica (o analítica) son armónicas.
Para una función de valor complejo, analítica y holomorfa son lo mismo.