Espacios Lens de dimensión uniforme

Question

Estoy estudiando por mi cuenta los espacios de Lens desde el punto de vista de la topología algebraica. Leí sobre ellos en el libro de Hatcher como se puede deducir de algunas de mis preguntas anteriores:

cw-construcción-de-lens-espacios-hatcher

computing-boundary-homorphisms-in-cellular-chain-complex-of-lens-spaces

He estado pensando... ¿es posible construir espacios Lens de dimensiones uniformes?

He buscado en Google pero no he encontrado nada. Así que sospecho que quizás la acción no funciona bien en esferas de dimensiones uniformes. ¿Alguna referencia para buscarlo? o ¿algún argumento en uno u otro sentido?

P:D: Sólo para recordar, esta es la definición de espacio Lens que estoy utilizando:

Gracias de antemano.

Answer 1

Para esferas de dimensión par, tenemos el siguiente teorema.

Supongamos: S $\pi:S^{2n}\rightarrow L$ es un mapa de cobertura. Entonces $\pi$ es un difeomorfismo o es un $2$ -cubierta doble y $L$ no es orientable. En particular, $L$ tiene grupo fundamental trivial o $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ .

Prueba: Sea $G = \pi_1(L)$ y elige $g\in G$ . Consideremos la acción inducida de $G$ en $S^{2n}$ como el grupo Deck.

Entonces $g:S^{2n}\rightarrow S^{2n}$ es un homeomorfismo. Supongamos inicialmente que este mapa preserva la orientación. Entonces tiene grado $1$ y así, según esta pregunta MSE porque $g$ es pas homotópico al mapa antipodal (porque $2n$ es par), $g$ debe tener un punto fijo. Pero un elemento del grupo Deck que fija un punto debe ser la identidad, por lo que $g = e\in G$ .

Esto demuestra que la identidad es el único elemento de $G$ . ¿Y los elementos que invierten la orientación? Bueno, si $h_1,h_2\in G$ orientación inversa, entonces $h_1h_2^{-1}$ conserva la orientación, por lo que $h_1h_2^{-1} = e$ Así que $h_1 = h_2$ . Por lo tanto, si existe un elemento de inversión de orientación de $G$ sólo hay uno.

Así, $G$ consiste en $1$ o $2$ elementos, por lo que $G = \{e\}$ o $G=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ .