¿Cuántas botellas de vino hay que comprar para adquirir los 19 tapones?

Question

19 Crímenes es un vino tinto que tiene 19 corchos diferentes (cada uno de los cuales lleva impreso un crimen concreto). Supongamos que hay un número infinito de botellas y supongamos que hay una distribución igual de cada uno de los corchos. La pregunta es: ¿Cuántas botellas de vino deben abrirse (y consumirse) antes de tener al menos un 95% de seguridad de que la siguiente botella contendrá el último corcho diferente, lo que hace una colección de al menos 19 corchos, con 19 corchos diferentes? Por favor, explique su planteamiento.

El mismo problema se puede aproximar suponiendo que hubiera un bol grande de bolos y que hubiera 19 sabores diferentes de bolos. Supongamos que el bol grande tuviera un número infinito de bolos y supongamos además que hubiera una distribución equitativa de bolos de distintos sabores en el bol. ¿Cuántos bolos habría que sacar para tener al menos un 95% de seguridad de que el siguiente bolo contendría el último bolo de sabor diferente?

Answer 1

Sólo hay un 5% de posibilidades de que la siguiente botella tenga el tapón definitivo y, por tanto, nunca se puede confiar en que la siguiente botella lo tenga.

Vous peut tener confianza (antes de abrir ninguna botella) en el número total de botellas que necesitarías para conseguir los 19 tapones: después de 110 tapones, es un 95% probable que los hayas visto todos.

Answer 2

Una vez que haya $18$ corchos diferentes, la probabilidad de obtener el $19$ El corcho de la siguiente botella es $\tfrac{1}{19}$ porque los tapones se distribuyen por igual en infinitas botellas. Así que nunca se $95\%$ seguro de que la siguiente botella tiene el último corcho diferente.

Answer 3

Después de elegir $n$ corchos, que las selecciones de $n$ tapones de corcho $i$ sea $S(i)$ . Entonces $$ \begin{align} N(j) &=\sum_{|A|=j}\left|\,\bigcap_{i\in A} S(i)\,\right|\\ &=\binom{19}{j}\,(19-j)^n \end{align} $$ Entonces, por Inclusión-Exclusión, el número de selecciones, de las $19^n$ posible, que falte ninguno de los corchos es $$\newcommand{\stirtwo}[2]{\left\{#1\atop#2\right\}} \begin{align} \sum_{j=0}^{19}(-1)^j\binom{19}{j}\,(19-j)^n &=\sum_{j=0}^{19}(-1)^{19-j}\binom{19}{j}j^n\\ &=\sum_{j=0}^{19}(-1)^{19-j}\binom{19}{j}\sum_{k=0}^j\binom{j}{k}\stirtwo{n}{k}k!\\ &=\sum_{k=0}^j\sum_{j=k}^{19}(-1)^{19-j}\binom{19}{j}\binom{j}{k}\stirtwo{n}{k}k!\\ &=\sum_{k=0}^j\sum_{j=k}^{19}(-1)^{19-j}\binom{19}{k}\binom{19-k}{j-k}\stirtwo{n}{k}k!\\[6pt] &=19!\stirtwo{n}{19} \end{align} $$ donde $\stirtwo{n}{k}$ es un Número Stirling del segundo tipo .

Por lo tanto, la probabilidad de que después de $n$ picos, todos tenemos $19$ corchos es $$ \sum_{j=0}^{19}(-1)^j\binom{19}{j}\,\left(1-\frac{j}{19}\right)^n =\frac{19!}{19^n}\stirtwo{n}{19} $$ En $n=109$ tenemos un $94.85235\%$ probabilidad de obtener todos $19$ mientras que en $n=110$ tenemos un $95.11847\%$ probabilidad.

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En El problema del coleccionista de cupones calcula el esperado número de selecciones antes de elegir todos los tapones. El tiempo previsto para elegir los $k^{\text{th}}$ nuevo corcho de $n$ es $$ \begin{align} \sum_{j=0}^\infty j\left(\frac{k-1}{n}\right)^{j-1}\frac{n-k+1}{n} &=\frac1{\left(1-\frac{k-1}{n}\right)^2}\frac{n-k+1}{n}\\ &=\frac{n}{n-k+1} \end{align} $$ Así que por la linealidad de la expectativa, obtenemos el tiempo esperado para conseguir todo $n$ es $$ n\,H_n $$ donde $H_n$ es un Número armónico . Para $n=19$ obtenemos que el valor esperado es $$ \begin{align} 19\,H_{19} &=\frac{275295799}{4084080}\\ &\doteq67.40705 \end{align} $$ La probabilidad de obtener todos $19$ tapones de corcho después de la cosecha $67$ es $58.24360\%$ y después de recoger $68$ es $60.01322\%$ .

La probabilidad de obtener todos $n$ corchos en el tiempo previsto tiende a $e^{-e^{-\gamma}}=57.03760\%$ como $n\to\infty$ .