Teoría de Galois de Grothendieck sin hipótesis de finitud

Question

Esto está motivado por el debate aquí . La definición habitual del grupo fundamental etale (como en SGA 1) da profinidad automática: La formulación de Grothendieck de la teoría de Galois afirma que cualquier categoría con un "functor de fibra" a la categoría de conjuntos finitos que satisfaga las hipótesis apropiadas es isomorfa a la categoría de conjuntos finitos continuos. $G$ -para un grupo profinito bien definido $G$ (tomado como el límite de los grupos de automorfismo de los objetos de Galois, o como el grupo de automorfismo de dicho functor de fibra). En SGA1, la estrategia consiste en tomar cubiertas etale finitas de un esquema fijo (conectado) con el functor de fibra el conjunto de elevaciones de un punto geométrico.

Uno de los problemas de este planteamiento es que $H^1(X_{et}, G)$ para un grupo finito $G$ (que clasifica $G$ -torsores en la topología etale) no es isomorfo a $\hom(\pi_1(X, \overline{x}), G)$ a menos que $G$ es finito. De hecho, esto implicaría que la cohomología de la gavilla constante $\mathbb{Z}$ sería siempre trivial, pero esto no es cierto (por ejemplo, para una cúbica nodal). Sin embargo, Scott Carnahan afirma en el hilo antes mencionado que el grupo fundamental etale "correcto" de un cúbico nodal debería ser $\mathbb{Z}$ no algo profano.

¿Cómo funciona exactamente? Se ha sugerido que se puede definir como un límite inverso similar de grupos de automorfismo, pero ¿existe una equivalencia similar de categorías y un formalismo análogo para "categorías de Galois" más débiles? (Quizá uno no sólo quiera todos los morfismos etale, sino, digamos, los torsores: la unión disjunta de dos inmersiones abiertas podría no ser el candidato adecuado). Estoy bastante seguro de que la finitud es necesaria en las pruebas habituales de la teoría de Galois, pero quizá haya algo más.

Answer 1

En "La topología pro-étale para esquemas" ( http://arxiv.org/abs/1309.1198 ), Bhatt y Scholze introducen la grupo fundamental pro-étale que parece dar una buena respuesta a su pregunta (véase, por ejemplo, el teorema 1.10). El grupo fundamental pro-etálico también se compara bien con el grupo fundamental etálico habitual y con el "grupo fundamental etálico SGA3".

Answer 2

Consulte la sección 2 del documento de Noohi Grupos fundamentales de pilas topológicas con propiedad de corte Algebr. Geom. Topol. 8 (2008) pp 1333-1370, doi: 10.2140/agt.2008.8.1333 , arXiv: 0710.2615 .

Answer 3

Además de las referencias ya citadas, cabe mencionar también el §7 de SGA III Exp.X ( Caracterización y clasificación de grupos multiplicativos , doi: 10.1007/BFb0059008 ), donde Grothendieck esboza la teoría de un grupo fundamental ampliado ("groupe fondamental élargi").

Más tarde se formalizó en términos de topos de Galois en el libro de doctorado de Olivier Leroy "Groupoide Fondamental et Theoreme de van Kampen en Theorie des Topos", que desgraciadamente no parece estar muy difundido. A grandes rasgos, dice lo siguiente Un topos $E$ es localmente Galois si es localmente conexo y si cada objeto es una suma de objetos localmente constantes: $SLC(E)=E$ (equivalentemente, si está generado por sus objetos Galois [ un objeto Galois es un objeto localmente constante no vacío que es un pseudo-torsor bajo su grupo de automorfismo]). Tal topos localmente Galois puede ser recuperado del groupoide (en el sentido categórico) de sus puntos en el sentido de que el functor $E\rightarrow (Point(E))^\wedge$ define una equivalencia de topos (aquí para un groupoide $C$ , $C^\wedge$ denota el topos de presheaves en $C$ ). Resumiendo, $E\mapsto Point(E)$ define una equivalencia entre topos y groupoides localmente galoides. Puede encontrar más detalles en el artículo de Vincent Zoonekynd El grupo fundamental de una pila algebraica en esta dirección http://zoonek.free.fr/Ecrits/

Entonces partiendo de un esquema $X$ se puede considerar el topos $SLC(\widetilde{X_{et}})$ de láminas localmente constantes para la topología étale. Se trata de un topos de Galois, el grupo de automorfismo de un punto es el grupo fundamental ampliado de Grothendieck. Si en lugar de la topología étale te quedas con la topología étale finita $X_{fet}$ donde las coberturas vienen dadas por familias suryectivas de mapas étale finitos, su recupera el grupo fundamental profinito tradicional de SGA1.

Answer 4

Los supuestos básicos de Grothendieck significan que estamos tratando con un sitio atómico conectado $\mathcal{C}$ con un punto, cuya imagen inversa es el functor de fibra $F: \mathcal{C} \to \mathcal{S}et$ :

(i) Cada flecha $X \to Y$ en $\mathcal{C}$ es un epimorfismo estricto.

(ii) Para cada $X \in \mathcal{C}$ $F(X) \neq \emptyset$ .

(iii) $F$ prescribe los epimorfismos estrictos.

(iv) El diagrama de $F$ , $\Gamma_F$ es una categoría cofiltrada.

Sea $G = Aut(F)$ sea el grupo local de automorfismos de $F$ .

Sea $F: \widetilde{\mathcal{C}} \to \mathcal{S}et$ el topos atómico puntiagudo de láminas para la topología canónica sobre $\mathcal{C}$ . Podemos suponer que $\mathcal{C}$ son los objetos conexos de $\widetilde{\mathcal{C}}$ .

(i) significa que los objetos están conectados, (ii) significa que el topos está conectado, (iii) que $F$ es continua, y (iv) que es plana.

Considerando las condiciones (iv) de preservación del límite finito más estrictas en $F$ (correspondientes a condiciones de cofiltrado más estrictas en $\Gamma_F$ ) obtenemos diferentes situaciones de Grothendieck-Galois (para más detalles y pruebas completas véase [1]):

S1) F preserva todos los límites inversos en $\widetilde{\mathcal{C}}$ de objetos en $\mathcal{C}$ es decir $F$ es esencial. En este caso $\Gamma_F$ tiene un objeto inicial $(a,A)$ (tenemos una "cobertura universal"), $F$ es representable, $a: [A, -] \cong F$ y $G = Aut(A)^{op}$ es un grupo discreto.

S2) F conserva productos arbritrarios en $\widetilde{\mathcal{C}}$ de un mismo $X \in \mathcal{C}$ (introducimos el nombre "proesencial" para tal punto [1]). En este caso existen cierres de galois (que es una propiedad de tipo cofiltro de $\Gamma_F)$ y $G$ es un grupo local prodiscreto, límite inverso en la categoría de grupos locales de los grupos discretos $Aut(A)^{op}$ , $A$ recorriendo todos los objetos galois en $\mathcal{C}$ .

S2-finito) F toma valores en conjuntos finitos. Esta es la situación original en SGA1. En este caso la condición "F preserva productos finitos en $\widetilde{\mathcal{C}}$ de un mismo $X \in \mathcal{C}$ se cumple automáticamente por la condición (iv) ( $F$ preserva los límites finitos), por lo que existen cierres galois, los grupos $Aut(A)^{op}$ son finitos, y $G$ es un grupo profinito, límite inverso en la categoría de grupos topológicos de los grupos finitos $Aut(A)^{op}$ .

NOTA. Las proyecciones de un límite inverso de grupos finitos son suryectivas. Esta es una propiedad clave. Las proyecciones de un límite inverso de grupos no son necesariamente suryectivas, pero si el límite se toma en la categoría de grupos locales, sí son suryectivas (demostrado por Joyal-Tierney). Esta es la razón por la que tenemos que tomar un grupo local en 2). Grothendieck sigue un enfoque equivalente en SGA4 tomando el límite en la categoría de los Progrupos.

S3) Ninguna condición sobre $F$ que no sea la conservación de los límites finitos (iv). Este es el caso de un topos atómico general apuntado. El desarrollo de este caso lo denominamos "Teoría local de Galois", véase [2], cuyo teorema fundamental fue demostrado por primera vez por Joyal-Tierney.

[1] ED, Sobre la teoría de la representación de Galois y los topoi atómicos J. Pure Appl. Alg. 186 (2004) pp 233-275, doi: 10.1016/S0022-4049(03)00141-5 , arXiv: math/0208222

[2] ED, Teoría localista de Galois Adv. Math. 175 (2003) pp 144-167, doi: 10.1016/S0001-8708(02)00046-4 , arXiv: math/0012173 .

Answer 5

En el bonito artículo de Dubuc y de la Vega Sobre la teoría de Galois de Grothendieck (arXiv: matemáticas/0009145 ) cubren el caso progrupo cuando el functor de fibra es representable (véase la sección 5.5):

Considere una categoría $C$ y un objeto $A \in C$ . Axiomas sobre $C$ :

R1) $C$ tiene un objeto terminal y pullbacks (por tanto, todos los límites finitos).

R2) $C$ tiene coigualadores.

R3) $C$ tiene coproductos.

Axiomas sobre $A$ (en términos del functor representable $[A, −]$ ):

R4) $[A, −]$ preserva los coigualadores.

R5) $[A, −]$ conserva los coproductos.

R6) $[A, −]$ refleja isomorfismos.

Tenga en cuenta que $[A,-]$ a priori un functor para $\mathbf{Set}$ ascensores a $\mathbf{Set}^{\mathrm{Aut}(A)}$ la categoría de $\mathrm{Aut}(A)$ -sets. Dados estos axiomas, obtenemos una equivalencia adjunta entre $C$ y $\mathbf{Set}^{\mathrm{Aut}(A)}$ . Está claro que es un paso en la dirección correcta, pero no es lo que usted busca.

En la sección 6.2 mencionan el caso más general (representable pero no finito) y dicen que lo desarrollarán en otro lugar. También hay una referencia a SGA IV 2.7, donde se afirma algo de esto pero no se demuestra (aparte, por supuesto, está la advertencia habitual de que topos en SGA significa topos de Grothendieck, ya que los topoi elementales aún no se han inventado).

No estoy seguro de dónde está ese "en otra parte", pero es probable que esté escrito en forma de teoremas de representación para topoi de Galois (cf arXiv: math/0208222 , math/0012173 ).