Desigualdad de recurrencia

Question

Definir secuencia ${a_n}$ como sigue: $a_1 = \frac {1}{2}, 2ka_k = (2k-3)a_{k-1}.$

Demuestre que para cualquier número natural $n, \sum_{k=1}^{n} a_k <1$ (No se permite el cálculo).

Estoy realmente atascado en la forma correcta de enfocar esto. Basta con demostrar que $\sum_{k=1}^{\infty} a_k <1,$ pero no es una serie con la que esté familiarizado. He intentado definir una serie de suma parcial $b_n$ tal que $b_n = \sum_{k=n}^{\infty} a_k,$ pero eso no ayudó a encontrar una relación no trivial.

Answer 1

Defina $b_k \equiv 2ka_k$ entonces para $k\geq 2$ $$b_k = (2k-3)a_{k-1} = 2(k-1)a_{k-1} - a_{k-1} = b_{k-1}-a_{k-1}$$

que se reordena en $a_{k-1} = b_{k-1} - b_{k}$ Así que

$$ \sum_{k=2}^{n} a_{k-1} = \sum_{k=2}^{n} (b_{k-1} - b_{k}) = b_1 - b_{n} = 2(1)a_1 - 2na_n = 1 - 2na_n$$

Es evidente que $a_n \in (0,1)$ para todos $n$ como $a_1=\tfrac12$ e inductivamente $$a_n = \underbrace{\frac{2n-3}{2n}}_{\substack{\in (0,1)\\ \text{for $ n\geq 2 $}}}\underbrace{a_{n-1}}_{ \in(0,1)} \in (0,1)$$

Por lo tanto $$0<\sum_{k=1}^{n} a_k = 1 - 2\underbrace{(n+1)a_{n+1}}_{>0} < 1$$

Answer 2

Pista: $\;\sum a_k\;$ telescopios muy bien:

$$ \begin{align} a_k &= \frac{2k-3}{2k}a_{k-1} \\ &= \frac{2k-3}{2k} \frac{2k-5}{2k-2} a_{k-2} \\ &\ldots \\ &= \frac{(2k-3)!!}{\frac{1}{2}(2k)!!} a_1 \\ &= \frac{(2k-3)!!}{(2k)!!} \\ &= \frac{\color{red}{\big(2k - (2k-1)\big)} \cdot (2k-3)!!}{(2k)!!} \\ &= \frac{(2k-3)!!}{(2k-2)!!} - \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} \end{align} $$

Answer 3

Tenga en cuenta que para $n\geq 1$ , $$A_n=\frac{1}{2}\prod_{k=2}^n\left(1-\frac{3}{2k}\right)=\frac{2\binom{2n-2}{n-1}}{n4^n}=\frac{2C_{n-1}}{4^n},$$ donde $C_n$ es el $n$ -th Número catalán . Ahora $$\sum_{k=1}^n A_k=2\sum_{k=1}^n\frac{C_{k-1}}{4^k}=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{C_{k}}{4^k}=1-\frac{\binom{2n}{n}}{4^n}<1.$$ donde la última igualdad puede demostrarse fácilmente por inducción.

P.D. La desigualdad tiene una interpretación combinatoria: Cálculo de la suma de una secuencia catalana-- Motivado por el paseo aleatorio