Hoy he aprendido algo conocido como la propiedad del rey, que ayuda mucho a resolver integrales, y quería saber por qué funciona esta propiedad. No sé si esta terminología se utiliza en otros lugares, asi que de lo que estoy hablando es de esta propiedad $$ \int_a^b f(x)dx = \int_a^b f(a+b-x)dx $$
Respuestas
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En esencia, esta propiedad afirma que no importa si integramos de izquierda a derecha o de derecha a izquierda.
Una forma de ver por qué esto debe ser así es considerar una partición de intervalo $\mathcal{P}$ de $[a,b]$ . Por ejemplo, supongamos que la partición contiene los intervalos separados por los puntos $a, c_1, ..., c_n, b$ .
Supongamos entonces que aplicamos a esta partición la función $f(x) = a + b - x$ . El resultado es otra partición $\mathcal{P}'$ separados por los puntos $f(b), f(c_n), ..., f(c_1), f(a)$ - que corresponde a $a, a+b-c_n, ..., a+b-c_1, b$ .
Por lo tanto, $\mathcal{P}'$ es otra partición válida de $[a,b]$ ¡! Por lo tanto los límites de las sumas de las particiones inferior y superior inducidas por ambas particiones deben ser iguales - es decir, la igualdad que escribiste.
user254665
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Si $x=a+b-y$ puis $$\int_{x=a}^{x=b}f(x)dx=\int_{y=b}^{y=a}f(a+b-y)d(a+b-y)=$$ $$=\int_{y=b}^{y=a}f(a+b-y)(-dy)=$$ $$=-\int_{y=b}^{y=a}f(a+b-y)dy=$$ $$=\int_{y=a}^{y=b}f(a+b-y)dy.$$ En la última integral podemos sustituir cada " $y$ " con un " $x$ " para obtener $\int_{x=a}^{x=b}f(a+b-x)dx.$ Se trata de un cambio de variable distinto y separado, y es $not$ el anterior " $x=a+b-y$ ".
Nicholas Roberts
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Prueba el cambio de variables $u(x) = a+b-x$ . Entonces $du=-dx$ . Además, nuestros límites de integración cambian en consecuencia: $u(a)=a+b-a = b$ y $u(b) = a+b-b = a$ . Así que tenemos:
$$\int_{u(a)}^{u(b)}f(u)du = -\int_b^af(a+b-x)dx$$
Sin embargo, podemos intercambiar los límites de integración, lo que crea un signo menos adicional delante de la integral y así deshacernos del signo menos que hay actualmente:
$$\int_a^bf(a+b-x)dx $$
