Hay algún error en mi demostración para "demostrar que [(p→q)∧(q→r)]→(p→r) es una tautología"?

Question

Por favor, ayúdame a estar 100% seguro de que no hay errores en esta prueba. Me preocupa especialmente haber aplicado una regla de forma incorrecta o haber omitido paréntesis cuando no correspondía. Esto de las pruebas es muy nuevo para mí. Muchas gracias. $$[(p\implies q)\land(q\implies r)]\implies(p\implies r)$$ $$\equiv\neg[(\neg p\lor q)\land(\neg q\lor r)]\lor(\neg p\lor r)$$ porque $$p\implies q\equiv\neg p\lor q$$ $\neg(\neg p\lor q)\lor\neg(\neg q\lor r)\lor(\neg p\lor r)$ por la ley de DeMorgan.

$p\land \neg q\lor q\land \neg r\lor(\neg p\lor r)$ por De M

$p\land \neg q\lor q\land\neg r\lor(r\lor \neg p)$ por ley conmutativa

$p\land\neg q\lor q\land(\neg r\lor r)\lor\neg p$ por Derecho asociativo

$p\land T\land T\lor\neg p$ por la Ley de Negación

$p\lor\neg p \equiv 1$ por Derecho de identidad

T por ley de Negación

$$Q.E.D$$

Answer 1

$\begin{array}{l} ((P\implies Q)\land(Q\implies R))\implies(P\implies R)\\\\ \bigg((P'+Q)\times(Q'+R)\bigg)\implies(P'+R) & \text{translate implications}\\\\ \bigg((P'+Q)\times(Q'+R)\bigg)'+(P'+R) & \text{translate overall implication}\\\\ (P'+Q)'+(Q'+R)'+(P'+R) & \text{negation of big parenthesis}\\\\ PQ'+QR'+P'+R & \text{negation of small parenthesis}\\\\ PQ'+QR'+1P'+ 1R & \text{introduce multiplication by 1}\\\\ PQ'+QR'+(Q+Q')P'+ (Q+Q')R & \text{replace 1 by tautology}\\\\ \color{red}{PQ'}+\color{green}{QR'}+ P'Q+ \color{red}{P'Q'} +\color{green}{QR}+ Q'R & \text{develop}\\\\ \color{red}{(P+P')Q'}+\color{green}{Q(R+R')}+ P'Q + Q'R & \text{factorize}\\\\ 1Q'+1Q+ P'Q + Q'R & \text{replace tautology by 1}\\\\ Q'+Q+ P'Q + Q'R & \text{remove multiplication by 1}\\\\ (Q+ Q') + P'Q+Q'R & \text{associativity}\\\\ 1 + P'Q+Q'R & \text{replace tautology by 1}\\\\ 1 & \text{ replace 1+X by 1} \end{array}$

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Lo mismo escrito en formalismo lógico:

$\begin{array}{l} ((p\implies q)\land (q\implies r))\implies(p\implies r)\\ ((\lnot p\lor q)\land (\lnot q\lor r))\implies(\lnot p\lor r)\\ \lnot ((\lnot p\lor q)\land (\lnot q\lor r)) \lor (\lnot p\lor r)\\ \lnot (\lnot p\lor q) \lor \lnot (\lnot q\lor r) \lor (\lnot p\lor r)\\ (p\land \lnot q) \lor (q\land \lnot r) \lor \lnot p \lor r\\ (p\land \lnot q) \lor (q\land \lnot r) \lor (\tau\land \lnot p) \lor (\tau\land r)\\ (p\land \lnot q) \lor (q\land \lnot r) \lor ((q\lor \lnot q)\land \lnot p) \lor ((q\lor \lnot q)\land r)\\ \color{red}{(p\land \lnot q)} \lor \color{green}{(q\land \lnot r)} \lor (\lnot p\land q) \lor \color{red}{(\lnot p\land \lnot q)} \lor \color{green}{(q\land r)}\lor (\lnot q\land r)\\ \color{red}{((p\lor \lnot p)\land \lnot q)} \lor \color{green}{(q\land (r\lor \lnot r))} \lor (\lnot p\land q) \lor (\lnot q\land r)\\ (\tau\land \lnot q) \lor (\tau\land q) \lor (\lnot p\land q) \lor (\lnot q\land r)\\ \lnot q \lor q \lor (\lnot p\land q) \lor (\lnot q\land r)\\ (q\lor \lnot q) \lor (\lnot p\land q) \lor (\lnot q\land r)\\ \tau \lor (\lnot p\land q) \lor (\lnot q\land r)\\ \tau\end{array}$

Answer 2

El uso que haces de los delimitadores me parece un poco raro. A ver si puedes seguir esta línea de razonamiento:

\begin{align} \Omega &\equiv [(p\to q)\land(q\to r)]\to(p\to r) & (\text{for brevity})\\[0.5em] &\equiv \neg(\neg p\lor q)\lor\neg(\neg q\lor r)\lor(\neg p\lor r)\\[0.5em] &\equiv (p\land\neg q)\lor(q\land\neg r)\lor(\neg p\lor r)\\[0.5em] &\equiv \bigl\{[(p\land\neg q)\lor q]\land[(p\land\neg q)\lor\neg r]\bigr\}\lor(\neg p\lor r)\\[0.5em] &\equiv [(p\lor q)\land(p\lor\neg r)\land(\neg q\lor\neg r)]\lor(\neg p\lor r)\\[0.5em] &\equiv (p\lor q\lor\neg p\lor r)\land(p\lor\neg r\lor\neg p\lor r)\land(\neg q\lor\neg r\lor\neg p\lor r)\\[0.5em] &\equiv \mathbf{T}\land\mathbf{T}\land\mathbf{T}\\[0.5em] &\equiv \mathbf{T}. \end{align}