Demostrar que no existe ninguna función que satisfaga las condiciones

Question

Demostrar que no puede haber una función $g$ tal que $g(x) \neq 0$ y $\lim_{x\to a}(\frac{1}{g(x)}+g(x)) = 0$

Intenté demostrarlo por contradicción.
He supuesto que tal función existe, y a partir de la definición de límite existe un $\delta > 0$ de modo que para todos $0<|x-a|<\delta$ :
$|\frac{1}{g(x)}+g(x) - 0| = |\frac{1+g^2(x)}{g(x)}| < ... < \epsilon$
Pero no pude llegar a una contradicción.
¿Puedo conseguir una pista?

Answer 1

Sea $\epsilon = 2$ y para cualquier $\delta > 0$ , $\forall c \in (a - \delta, a + \delta)$ o bien $f(c) > 0$ o $f(c) < 0 \implies \dfrac{1}{f(c)} + f(c) \ge 2$ o $\dfrac{1}{f(c)} + f(c) \le -2\implies \left|\dfrac{1}{f(c)} + f(c)-0\right| = \left|\dfrac{1}{f(c)} + f(c)\right|\ge 2= \epsilon$ . Esto demuestra que el límite no puede ser $0$ y esto significa $g(x)$ no puede existir.

Answer 2

Tenga en cuenta que $$ \bigg(\frac{1}{g(x)}+g(x)\bigg)^2=\frac{1}{g^2(x)}+g^2(x)+2\ge2 $$ y, por tanto, si $$ \lim_{x\to a}(\frac{1}{g(x)}+g(x)) = 0$$ tendríamos $$ 0\ge2$$ lo cual es absurdo.