Máximo absoluto de $f(x) = \sqrt{x^4-3x^2-6x+13}-\sqrt{x^4-x^2+1}$

Question

Mi tutor de matemáticas lo resolvió utilizando $f(x) = \sqrt{(x^2-2)^2+(x-3)^2}-\sqrt{(x^2-1)^2+(x-0)^2}$ y tratar $A(2,3)$ y $B(1,0)$ como puntos fijos y $P(x^2,x)$ como punto móvil y utilizando la diferencia entre los lados PA y PB del triángulo PAB y relacionándolo con el lado AB para hallar la respuesta.

es decir $PA-PB \leq AB = \sqrt{(2-1)^2-(3-0)^2} = \sqrt{10}$

¿Cuáles son los otros métodos para resolver esto y hay una manera específica para convertir cualquier ecuación en la forma de 2 cuadrados como se ha demostrado anteriormente o es sólo un caso especial en el que es posible.

Answer 1

No, no es tan difícil. Tenemos que demostrar que $$\sqrt{x^4-3x^2-6x+13}-\sqrt{x^4-x^2+1}\leq\sqrt{10}$$ o $$\sqrt{x^4-3x^2-6x+13}\leq\sqrt{10}+\sqrt{x^4-x^2+1}$$ o $$1-3x-x^2\leq\sqrt{10(x^4-x^2+1)},$$ lo cual es obvio para $x^2+3x-1\geq0$ pero para $x^2+3x-1\leq0$ tenemos que demostrar que $$(x^2+3x-1)^2\leq10(x^4-x^2+1)$$ o $$9x^4-6x^3-17x^2+6x+9\geq0$$ o $$(3x^2-x-3)^2\geq0.$$ ¡Hecho!