¿Una versión de mayor dimensión de la fórmula de Hurwitz?

Question

En Hartshorne IV.2 se introducen nociones relacionadas con la ramificación y la ramificación, pero sólo para curvas. El resultado principal es la fórmula de Hurwitz.

Ahora bien, si tienes un morfismo suryectivo finito entre variedades no singulares, cuasi-proyectivas, entonces la noción de ramificación (divisor) seguiría teniendo sentido y también podríamos seguir hablando del grado de un divisor canónico. También me pareció que ningún resultado de IV.2 utiliza realmente el hecho de que $X$ y $Y$ son de dimensión $1$ . Así que pregunto, ¿puedo reemplazar $f$ por un morfismo finito, dominante y separable $X\to Y$ de variedades cuasi proyectivas no singulares de dimensión arbitraria? Esto es, por supuesto, hasta la Proposición 2.3 inclusive.

Si esto es así, ¿podemos decir algo sobre el grado de un divisor canónico en dimensión mayor que uno? ¿Quizás en casos especiales?

Answer 1

Se podría argumentar que la fórmula de Hurwitz se reduce a dos simples hechos:

1. Si $f:X\to Y$ es un morfismo étale, entonces $\omega_X=f^*\omega_Y$ .
2. Si $f:X\to Y$ es dominante, entonces $\omega_X\supseteq f^*\omega_Y$

"1." es una consecuencia trivial de una caracterización equivalente de ser étale, a saber, que $f$ es plana y $\Omega_{X/Y}=0$ (véase Hartshorne, Ex.III.10.3).

"2." se deduce de tomar cualquier sección local de $\omega_Y$ y darse cuenta de que tirando de él hacia atrás a través de $f$ (es decir, sustituyendo el cambio de variables dado por $f$ en las variables locales) se obtiene de nuevo una forma regular.

Si $f$ es como en la pregunta, entonces es étale lejos del lugar de ramificación esencialmente por la definición del lugar de ramificación (que es un divisor por pureza como señaló Christian). Entonces "1." implica que $K_X=f^*K_Y+R$ para algún divisor apoyado en el lugar de ramificación y "2." implica que $R$ es eficaz.

Los coeficientes reales de $R$ y los índices de ramificación dependen de la información local. La localización en los puntos generales de los componentes irreducibles del lugar geométrico de ramificación reduce la cuestión al caso de las curvas.

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En cuanto a la cuestión del grado del divisor canónico, yo diría algo distinto de lo que se ha dicho más arriba. Es cierto que, en general, no existe una noción de grado como en el caso de las curvas, pero si examinamos lo que es realmente esa noción en las curvas quizá podamos llegar a nociones similares que podrían funcionar igual de bien.

Si lo piensas, la razón principal por la que podemos definir un grado de divisores en curvas es que existe un único divisor (efectivo), a saber, un punto, tal que cada divisor es numéricamente equivalente a un múltiplo de éste y entonces simplemente llamamos a ese múltiplo el grado del divisor.

En otras palabras, si $X$ es tal que el grupo de divisores módulo de equivalencia numérica es $\mathbb Z$ se podría definir el grado de $D$ como el número al que mapea cuando se considera a través de este isomorfismo. Esto es lo que ocurre, por ejemplo, cuando hablamos del grado de una hipersuperficie en $\mathbb P^n$ .

Otra forma de pensar en el grado es que es un número de intersección. Es habitual definir el grado de una variedad proyectiva (con respecto a una incrustación proyectiva dada) por el número de puntos en una intersección de la variedad dada con un subespacio lineal dimensional complementario en posición general. Para un divisor esto significaría la intersección con una recta en posición general (o simplemente tomar el número de intersección con una recta).

Por supuesto, una variedad general no contendrá una línea, pero se puede hacer lo siguiente: Fijar un divisor amplio $L$ y definimos el grado de un divisor como $D\cdot L^{n-1}$ donde $n=\dim X$ . En muchos casos esto funcionará bien y lo que usted utilizaría el grado del divisor, esto le daría el mismo marco.

Así pues, yo diría que el problema con el grado del divisor canónico no es que no exista, sino que, en general, cualquier definición de grado de una variedad implica algunas elecciones y, por tanto, uno puede acabar con más de una noción de grado. Sin embargo, con respecto al teorema de Hurwitz, si se quiere utilizar el grado para comparar $K_Y$ y $K_X$ debería ser capaz de obtener algo útil, ya que todo lo que tiene que hacer es asegurarse de que utiliza nociones compatibles de grado en $X$ y $Y$ . Por ejemplo, si se sigue el grado determinado por un haz de líneas amplio, basta con tomar una en $Y$ , tire de él hasta $X$ . Desde $f$ es finito, esto será amplio y las dos nociones dadas por los dos haces de líneas serán compatibles. De hecho, sigue adelante y escribe los grados de los divisores en la fórmula de Hurwitz de esta manera. Obtendremos una fórmula similar (¡pero diferente!). El grado de $f$ entrará también a través del pull-back del haz de líneas amplio, por lo que quizás para obtener una fórmula más familiar, habría que dividir todos los grados en $X$ por el grado de $f$ (o multiplíquelos por él en $Y$ ).

El inconveniente obvio de definir el grado de esta manera es que no es portátil. Puedes definirlo en una situación determinada e intentar que tus definiciones en diferentes objetos sean compatibles, pero no puedes esperar obtener ningún resultado numérico que siga siendo cierto en una situación diferente. Por ejemplo, no se puede decir cosas absolutas como "el grado del divisor canónico es $2g-2$ ".

Answer 2

Grado del divisor canónico no tiene ningún sentido como ya ha señalado Mohammed.

Por otra parte, por "pureza del lugar de ramificación" se entiende el lugar de ramificación, así como el lugar de ramificación de $f$ es una suma de divisores irreducibles. Denotemos por $R_i$ los componentes irreducibles del lugar de ramificación. Entonces, los anillos locales de los puntos genéricos del $R_i$ son DVR, y se pueden asociar índices de ramificación $e_i$ a ellos (como se explica en el libro de Hartshorne). Los cálculos locales muestran que $$ \omega_X \cong f^*\omega_Y\otimes{\cal O}_Y(\sum_i (e_i-1)R_i) $$ De hecho, esto se comprueba fuera de las intersecciones del $R_i$ donde estos cálculos locales son fáciles. Esto da el isomorfismo deseado fuera de la codimensión $2$ y por reflexividad, el isomorfismo deseado se cumple en todas partes.

Answer 3

En $\mathbb{C}$ podemos obtener fácilmente una fórmula de Hurwitz para variedades de dimensión superior por métodos topológicos. Supongamos $f:X\to Y$ es un mapa finito de variedades proyectivas complejas; digamos que tiene grado $d$ . Sea $B\subset Y$ sea el lugar de bifurcación, y ponga $Z = f^{-1}(B)$ . El mapa inducido $X\setminus Z\to Y\setminus B$ es entonces un $d$ -espacio de cobertura, por lo que encontramos $\chi(X\setminus Z) = d\cdot \chi(Y\setminus B)$ . Pero $\chi(X\setminus Z) = \chi(X) - \chi(Z)$ (el hecho de que $Z$ tiene codimensión real par en $X$ es crucial aquí), por lo que obtenemos

$$\chi(X) = d\cdot \chi(Y) +(\chi(Z) - d\cdot\chi(B)).$$

Observando que para una curva $C$ tenemos $\chi(C) = -\deg \omega_C$ esta fórmula se reduce claramente a la conocida fórmula de Hurwitz en el caso de las curvas. En dimensiones superiores, tenemos ahora un mapa finito inducido $Z \to B$ y podemos obtener recursivamente una fórmula para $\chi(X)$ analizando la ramificación de este mapa.

Como aplicación, este método da una derivación simple de la característica de Euler de un grado suave $d$ hipersuperficie en $\mathbb{P}^n$ . De hecho, cualquier hipersuperficie de este tipo es difeomorfa a una hipersuperficie de Fermat $x_0^d+\cdots + x_n^d = 0$ . Considerando la proyección desde un punto, los lugares de ramificación y ramificación son a su vez hipersuperficies de Fermat, y se puede obtener una fórmula recursiva.

Answer 4

He aquí un intento desenfadado de generalizar la discusión de la fórmula de Hurwitz en Hartshorne a dimensiones superiores.

Sea $f:Y\to X$ sea un morfismo de esquemas sobre un campo $k$ . Supongamos que $X$ y $Y$ son integrales y suaves de dimensión $n$ y que $f$ es finito, dominante y separable.

Consideremos la secuencia exacta \begin{equation*} f^* \Omega_X \to \Omega_Y \to \Omega_{Y/X} \to 0. \end{equation*} Separabilidad de la extensión de campos $k(X)\subseteq k(Y)$ es equivalente a la desaparición $\Omega_{k(Y)/k(X)}=0$ . Así, el mapa $f^*\Omega_X\to \Omega_Y$ es suryectiva en el punto genérico de $Y$ . De ello se deduce que allí también es inyectiva, ya que las dos láminas implicadas son localmente libres del mismo rango. Concluimos que $f^*\Omega_X\to \Omega_Y$ es inyectiva en todas partes, ya que $Y$ es integral.

Las potencias exteriores de mapas inyectivos de módulos que son finitos y libres sobre un anillo son de nuevo inyectivas. Así, el mapa natural $f^*\omega_X\to \omega_Y$ es inyectiva. Tensado con $\omega_Y^{-1}$ obtenemos una gavilla ideal invertible $f^*\omega_Y\otimes \omega_Y^{-1} \subseteq \mathscr O_Y$ . El correspondiente divisor de Cartier efectivo $R$ se denomina divisor de ramificación de la cubierta $f:Y\to X$ . Por construcción existe un isomorfismo natural $f^*\omega_X(R)\xrightarrow\sim \omega_Y$ .

Sea $P\in Y$ sea un punto de codimensión 1. A continuación demostramos que \begin{equation*} \operatorname{length}_{\mathscr O_{Y,P}}\mathscr O_{R,P} = \operatorname{length}_{\mathscr O_{Y,P}} (\Omega_{Y/X})_P. \end{equation*} (Pido disculpas de antemano por lo poco elegante de la prueba). Esto implicará que el divisor de Weil asociado a $R$ es \begin{equation*} \sum_{F\subseteq Y} (\operatorname{length}_{\mathscr O_{Y,F}} \Omega_{Y/X}) \cdot F, \end{equation*} donde la suma recorre todos los divisores primos de $Y$ . En particular, el complemento de $R$ en $Y$ es el mayor subconjunto abierto restringido al que $f$ no está ramificado.

Denote $A:=\mathscr O_{Y,P}$ y que $t\in A$ sea un uniformizador. Elija bases en torno a $P$ para el rango- $n$ poleas localmente libres $f^*\Omega_Y$ y $\Omega_Y$ . El mapa $(f^*\Omega_Y)_P\to (\Omega_X)_P$ viene dada por una matriz $\alpha$ que podemos suponer que está en la forma normal de Smith: \begin{equation*} \alpha = \begin{bmatrix} t^{a_1} & & \\ & \ddots & \\ & & t^{a_n} \end{bmatrix} , \end{ecuación*} donde el $a_i\ge 0$ son números enteros. Aquí no hay ceros a lo largo de la diagonal porque $\alpha$ tensado con $\operatorname{Frac}(A)$ debe ser suryectiva. Es fácil ver que \begin{equation*} \mathscr O_{R,P} \cong A/(\det \alpha) = A/(t^{\sum a_i}), \end{equation*} mientras que \begin{equation*} (\Omega_{Y/X})_P\cong \oplus_{i\ge 0}^n A/(t^{a_i}), \end{equation*} por lo que estos dos módulos tienen la misma longitud $\sum a_i$ .

Sea $r(P)$ sea el ramificación de $f$ en $P$ : es la valoración de la imagen de cualquier uniformizador de $\mathscr O_{X,f(P)}$ en $\mathscr O_{Y,P}$ . Supongamos que la característica de $k$ no divide $r(P)$ que la extensión de campo finito $k(f(P))\subseteq k(P)$ es separable, y que la finitamente generada $k\subseteq k(f(P))$ se genera separadamente. Demostramos que en estas circunstancias \begin{equation*} \operatorname{length}_{\mathscr O_{Y,P}} (\Omega_{Y/X})_P = r(P)-1. \end{equation*}

Denote \begin{align*} r &:= r(P), \\ A &:= \mathscr O_{X,f(P)}, \\ B &:= \mathscr O_{Y,P}. \end{align*} Así pues, tenemos inclusiones $k\subseteq B\subseteq A$ . Denotemos el ideal máximo de $A$ por ${\frak m}_A$ su campo de residuos por $k_A$ y lo mismo para $B$ . Así ${\frak m}_A = (t_A)$ y ${\frak m}_B = (t_B)$ avec $t_B = u t_A^r$ donde $u\in A^\times$ es una unidad.

Por hipótesis existe una base de trascendencia $\bar f_1,\dotsc, \bar f_{n-1}$ de $k_B$ en $k$ tal que la extensión $k_B/k(\bar f_1,\dotsc,\bar f_{n-1})$ es separable (por lo tanto no tiene diferenciales relativas). Elija los ascensores $f_1,\dotsc, f_{n-1}\in B$ de los elementos de esta base de trascendencia. Observando la secuencia exacta \begin{equation*} {\frak m}_B/{\frak m}_B^2 \xrightarrow{d} \Omega_B \otimes k_B \to \Omega_{k_B} \to 0 \end{equation*} y aplicando Nakayama vemos que el mapa $B^{\oplus n} \to \Omega_B$ que envía \begin{equation*} e_i \mapsto \begin{cases} df_i & \text{if }i\le n-1\\ dt_B & \text{if }i = n \end{cases} \end{equation*} es suryectiva. Sea $K$ denota su núcleo. Entonces $\operatorname{Tor}_1^B(\Omega_B,k_B)$ se proyecta sobre $K\otimes_B k_B$ . Por el hecho de que $\Omega_B$ es libre, se deduce que $K=0$ . Así, el libre $B$ -módulo $\Omega_B$ tiene $df_1,\dotsc, df_{n-1}, dt_B$ como base.

Del hecho de que $k_A/k_B$ es separable, se deduce que $k_A/k(\bar f_1,\dotsc, \bar f_{n-1})$ también lo es, por lo que, según el argumento anterior, el libre $A$ -módulo $\Omega_A$ tiene $df_1,\dotsc, df_{n-1}, dt_A$ como base.

Los diferenciales relativos $\Omega_{A/B}$ son, por tanto, el cociente de $\Omega_A$ por el submódulo generado por $df_1,\dotsc, df_{n-1}, dt_B$ . Denotemos por $M$ el cociente itermedio de $\Omega_A$ por $df_1,\dotsc, df_{n-1}$ . Entonces $M$ se genera libremente por la imagen de $dt_A$ . Escriba a \begin{equation*} dt_B = t_A^r du + u r t_A^{r-1} dt_A \end{equation*} en $\Omega_A$ . En $M$ tenemos $du = f dt_A$ para algunos $f\in A$ Así que $dt_B = u' t_A^{r-1}dt_A$ para algunos $u'\in A$ . Por el hecho de que $r\ne 0$ en $k$ se deduce que $u'$ es una unidad. Por lo tanto, el mapa \begin{equation*} A/(t_A^{r-1}) \xrightarrow{\cdot dt_A} \Omega_{A/B} \end{equation*} es un isomorfismo y $\operatorname{length}_A \Omega_{A/B} = r-1$ como se afirma.

Answer 5

Existe una versión más general basada en el truco llamado integración con respecto a la característica de Euler que reduce el problema a la fórmula de Hurwitz para curvas posiblemente singulares. En este enfoque, la analiticidad compleja desempeña un papel secundario. La historia es un poco larga para incluirla aquí, ya que requiere una breve digresión en la geometría domesticada, también conocida como geometría o-minimal entre los lógicos.

Si tienes entre media hora y una hora para dedicarle, eche un vistazo a este documento para ver en qué consiste este truco y observar algunas consecuencias topológicas bastante sorprendentes.