Utilizo axiomas similares al sistema de axiomas lógicos de Hilbert:
\begin{align} &P\rightarrow (Q\rightarrow P) \tag{A1}\\[5pt] &(P\rightarrow (Q\rightarrow R))\rightarrow ((P\rightarrow Q)\rightarrow (P \rightarrow R)) \tag{A2}\\[5pt] &(\neg Q \rightarrow \neg P)\rightarrow (P\rightarrow Q) \tag{A3} \end{align}
También puedo utilizar el Modus Ponens y el teorema de la deducción. Intento demostrar dos cosas:
$(a)\;\;\; \vdash \neg P \rightarrow (\neg Q\rightarrow (P\rightarrow R))$
$(b)\;\;\; \vdash (P \rightarrow ¬P) (\neg\neg P \rightarrow \neg P)$
Sé lo que tengo que hacer, pero no lo consigo con ninguno de los dos. He intentado utilizar el teorema de la deducción en ambos, así que estoy tratando de demostrar en $(a)$ que $\neg P \vdash (\neg Q\rightarrow (P\rightarrow R))$ y de forma similar en $(b)$ . Este es mi esfuerzo para $(a)$ :
\begin{align} &1. \neg P &&\text{premise}\\[5pt] &2. \neg P \rightarrow (\neg Q \rightarrow \neg P) &&(A1)\\[5pt] &3. (\neg Q \rightarrow \neg P) &&MP:1+2\\[5pt] &4. (\neg Q \rightarrow \neg P) \rightarrow (P \rightarrow Q) &&(A3)\\[5pt] &5. P \rightarrow Q &&MP:3+4 \end{align}
No sé cómo proceder. Tengo la sensación de tener todas las piezas necesarias, pero no consigo unirlas. Tengo una situación bastante similar con $(b)$ . Se agradecería cualquier ayuda.
