mejora de la solución de mínimos cuadrados tras añadir más puntos de observación

Question

Se ajusta un modelo lineal simple $y=\sum{c_i \times x_i}+q$ a sus datos $X=\{x_{ij}\}$ et $Y=\{y_j\}$ por mínimos cuadrados lineales, y se obtiene una solución $(q,c_i)$ (más la varianza residual) en función de las N observaciones que ha aportado al cálculo.

¿Cómo se transforma esa solución en la actualizada $(q',c'_i)$ cuando tenemos vectores de datos más largos $X'$ et $Y'$ ?

¿Existe alguna expresión de forma cerrada que utilice sólo los puntos añadidos y algún tipo de información "condensada" guardada del ajuste anterior?

Answer 1

El ajuste por mínimos cuadrados se realiza a partir de las ecuaciones normales, que consisten esencialmente en la matriz de varianza-covarianza, obtenida acumulando los momentos hasta el segundo orden.

Esta es la forma condensada que está buscando.

Answer 2

No sé si esto es lo que está buscando.

Supongamos que resuelves el problema mediante las ecuaciones normales y utilizas matrices para resolver el sistema lineal. Esto significa (para un modelo con dos variables) que has resuelto $$\sum_{i=1}^ny_i=nc_0+c_1\sum_{i=1}^nx_{1i}+c_2\sum_{i=1}^nx_{2i}$$ $$\sum_{i=1}^nx_{1i}y_i=c_0\sum_{i=1}^nx_{1i}+c_1\sum_{i=1}^nx_{1i}^2+c_2\sum_{i=1}^nx_{1i}x_{2i}$$ $$\sum_{i=1}^nx_{2i}y_i=c_0\sum_{i=1}^nx_{21i}+c_1\sum_{i=1}^nx_{1i}x_{2i}+c_2\sum_{i=1}^nx_{2i}^2$$ Ahora, añade $p$ nuevos puntos de datos, por lo que las ecuaciones se convierten en $$\left(\sum_{i=1}^ny_i+\sum_{i=n+1}^{n+p}y_i\right)=(n+p)c_0+c_1\left(\sum_{i=1}^nx_{1i}+\sum_{i=n+1}^{n+p}x_{1i}\right)+c_2\left(\sum_{i=1}^nx_{2i}+\sum_{i=n+1}^{n+p}x_{2i}\right)$$ $$\left(\sum_{i=1}^nx_{1i}y_i+\sum_{i=n+1}^{n+p}x_{1i}y_i\right)=c_0\left(\sum_{i=1}^nx_{1i}+\sum_{i=n+1}^{n+p}x_{1i}\right)+c_1\left(\sum_{i=1}^nx_{1i}^2+\sum_{i=n+1}^{n+p}x_{1i}^2\right)+c_2\left(\sum_{i=1}^nx_{1i}x_{2i}+\sum_{i=n+1}^{n+p}x_{1i}x_{2i}\right)$$ $$\left(\sum_{i=1}^nx_{2i}y_i+\sum_{i=n+1}^{n+p}x_{2i}y_i\right)=c_0\left(\sum_{i=1}^nx_{2i}+\sum_{i=n+1}^{n+p}x_{2i}\right)+c_1\left(\sum_{i=1}^nx_{1i}x_{2i}+\sum_{i=n+1}^{n+p}x_{1i}x_{2i}\right)+c_2\left(\sum_{i=1}^nx_{2i}^2+\sum_{i=n+1}^{n+p}x_{2i}^2\right)$$ Desde que guardó el $\sum_{i=1}^n(.)$ basta con calcular el $\sum_{i=n+1}^{n+p}(.)$ que actualizan los coeficientes de las ecuaciones lineales.