Ideales en $\mathbb{C}[x,y]$ que no son producto de otro ideal

Question

Creo que entiendo la teoría de los ideales (al menos en el nivel básico necesario para esto), pero tengo problemas con los cálculos reales. Estoy tratando de averiguar un ejemplo de dos ideales $I, A$ en $\mathbb{C}[x,y]$ , $I\subseteq A$ tal que no exista otro ideal $J$ tal que $I=AJ$ .

Demostré que en un anillo conmutativo con identidad, si un ideal $I$ está contenido en un ideal principal $(a)$ entonces existe un ideal $J$ tal que $I=(a)J$ .

Así que en $\mathbb{C}[x,y]$ Por lo tanto, tengo que encontrar un ideal no principal y examinar los ideales que contiene.

Mi primer instinto es ir con $A=(x,y)$ y, a continuación, considerar $I=(x)$ o $I=(x-y)$ , pero en informática no estoy creando contradicciones tomando $J$ sea algún ideal finitamente generado.

¿Hay algún teorema de nivel superior que pueda utilizar para orientarme mejor?

Edito: Imagino que puede tener algo que ver con que los polinomios de grado mínimo quizá sean imposibles en el producto de $A$ et $J$ Sin embargo, es sólo una corazonada.

Answer 1

$I=(x)$ et $A=(x,y)$ trabajo. De hecho $J$ sea tal que $JA=I$ . Tenemos $$JA=xJ+yJ=(x)$$ y por lo tanto $x\mid yf$ para todos $f\in J$ . Esto significa que $x\mid f$ para todos $f\in J$ y, por lo tanto, que $J\subseteq (x)$ . Si $J\subsetneq (x)$ entonces $JA\subseteq J\subsetneq (x)$ Por lo tanto, $J=(x)$ es necesario. Pero $IA=(x^2,xy)\ne (x)$ porque, por ejemplo, si $f\in (x^2,xy)$ entonces $f=0$ o el menor grado total de un monomio de $f$ es como mínimo $2$ .