Una función débilmente continua implica algún tipo de trivialidad

Question

Hice una pregunta similar en math stackexchange y me dirigieron aquí. Por favor, hágamelo saber si esta pregunta es más adecuado en otros lugares.

Sea $U$ y $V$ sean espacios de Banach (de dimensión infinita). Supongamos que tenemos una secuencia $(u_n)$ en $U$ que converge débilmente a $u_0$ y una función no lineal $F:U \to V$ donde podemos suponer, por ejemplo, que $\|F(u)\|_V \leq C \|u\|_U$ no es realmente importante para la pregunta.

Pasando a la pregunta, en $L^p(0,1)$ continuidad débil de una función $\psi: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ implica que $\psi$ es afín (véase 2.10 en estas notas de clase )

Me pregunto si existen resultados similares para otros espacios de Banach (o de Hilbert), que la continuidad débil implique algún tipo de trivialidad. Sospecho que no existe un teorema general, pero me preocupan especialmente espacios como $L^2([a,b],V)$ donde $V$ es un espacio de Banach reflexivo y separable (tal vez incluso de dimensión finita), o bien $C^1([a,b],V)$ , $W^{k,p}([a,b],V)$ . En el primer caso, creo que sí y que las funciones débilmente continuas son afines; en los demás casos, no estoy tan seguro.

Answer 1

De la pregunta y del OP pregunta relacionada en Mathematics StackExchange, deduzco que el OP está interesado en general en la continuidad débil de los mapeados no lineales. Así que aquí hay dos hechos generales que parecen ser relevantes:

Sea $X$ , $Y$ sean espacios de Banach (sobre el mismo campo). Supongamos que $X$ es de dimensión infinita y que $Y$ es distinto de cero. Entonces:

(a) Existe un mapeo no lineal norma-continuo $F: X \to Y$ que no es débilmente continua.

(b) Existe una cartografía no lineal $G: X \to Y$ que es débilmente continua.

Prueba. (a) Elija un vector distinto de cero $y \in Y$ y establece $F(x) = \|x\| \cdot y$ para cada $x \in X$ . Evidentemente, $F$ es norma-continua. Pero si $F$ fueran débilmente continuas, entonces la preimagen del conjunto $\{y\}$ en $F$ - que es la esfera unitaria en $X$ - estaría débilmente cerrado. Sin embargo, la esfera unitaria de un espacio de Banach infinito es nunca débilmente cerrado .

(b) Sea $x' \in X'$ sea una función lineal acotada no nula sobre $X$ y fijar un vector distinto de cero $y \in Y$ . Fijamos $G(x) = \langle x', x \rangle^2 \cdot y$ para cada $x \in X$ . Entonces $G$ no es lineal, pero es débilmente continua ya que es la composición de los mapeos débilmente continuos $$ X \overset{x'}{\longrightarrow} \mathbb{F} \; \overset{s \mapsto s^2}{\longrightarrow} \; \mathbb{F} \; \overset{t \mapsto t \cdot y}{\longrightarrow} \; Y $$ (donde $\mathbb{F} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}$ denota el campo escalar subyacente de $X$ y $Y$ ). $\square$

Observaciones.

(1) La cartografía $F$ de (a) ni siquiera es secuencialmente débilmente continua. Esto se deduce del hecho de que, en un espacio de Banach de dimensión infinita $X$ siempre existe una secuencia $(x_n)$ en la esfera unidad que converge débilmente a $0$ .

(2) Quizá merezca la pena recordar que, para una lineal cartografía $T$ entre dos espacios de Banach $X$ y $Y$ son equivalentes:

(i) $T$ es continua por norma (es decir, acotada).

(ii) $T$ es débilmente continua.

(iii) $T$ es secuencialmente débilmente continua.

(La afirmación (i) implica (ii) debido a la existencia del operador dual $T'$ (ii) implica obviamente (iii), y (iii) implica (i) debido al teorema del grafo cerrado).

Descargo de responsabilidad. En realidad, creo que esto sería un mejor ajuste para Matemáticas StackExchange, pero desde el OP se dirigió a MathOverflow de allí, pensé que sería un poco injusto para enviarlos de vuelta sin una respuesta.