Intento demostrar el siguiente teorema:
Sea A un conjunto y sea $\leq_A$ sea un orden parcial sobre $A$ . Decimos que una secuencia $x_1, ..., x_n$ se ordena si $x_1 \leq_a x_2 \leq_a ... \leq_a x_n$ . Demostrar que cualquier subconjunto de $n$ elementos de $A$ se pueden clasificar si $A$ es una orden total.
Creo que entiendo el teorema e intuitivamente veo que es cierto, pero tengo algunas dificultades para demostrarlo. Creo que esto se debe a que no estoy seguro exactamente lo que puedo suponer acerca de la secuencia ordenada. Tampoco sé cómo negar la proposición de que la sucesión está ordenada. Así que lo que he intentado hacer:
- Mi primer intento fue probar la primera dirección de la implicación por contradicción - suponer que la secuencia está ordenada, pero $\leq_a$ no es una orden total. Entonces sabemos que debe haber tal $x, y \in A $ que $x \nleq_a y$ y $y \nleq_a x$ . Pero aquí es donde me quedé atascado, no puedo llegar a una contradicción, porque no estoy seguro de si este $x \nleq_a y$ y $y \nleq_a x$ implica que la secuencia no se puede ordenar.
- El segundo intento fue una prueba por contrapositiva, pero aquí hay el mismo problema. No estoy seguro de cómo negar que la secuencia está ordenada.
También sé un poco sobre relaciones bien ordenadas, que toda relación bien ordenada es también un orden total. Así que creo que podría demostrar el primer sentido de la implicación si mostrara que cualquier subconjunto del conjunto $A$ tiene un elemento mínimo. Del mismo modo, probablemente podría ir por este camino en mi primer intento (prueba por contradicción) - demostrar que si hay $x, y$ donde $x \nleq_a y$ y $y \nleq_a x$ entonces cualquier subconjunto de $A$ no tiene un elemento menor/mayor. Pero en este caso dudo que sea obvio que la secuencia no está ordenada.
Agradecería cualquier pista o sugerencia, especialmente sobre la definición de la ordenación en este teorema, qué puedo suponer al respecto, cómo negar esto.
