Tipo de isomorfismo del grupo de concordancia de nudos

Question

Clases de isotopía de nudos orientados en $S^3$ forman un monoide conmutativo con respecto a la suma conexa. Los nudos de corte liso, es decir, los nudos que son la frontera de un disco liso debidamente incrustado en $B^4$ forman un submonoide. El cociente del monoide de todos los nudos por el submonoide de nudos cortados es el grupo de concordancia de nudos lisos $\mathcal{C}$ . Es un grupo porque cada nudo tiene su inverso: su imagen especular con orientación invertida.

Mi pregunta es: ¿qué se sabe sobre el tipo de isomorfismo del grupo $\mathcal{C}$ ?

Por supuesto, se ha investigado mucho para estudiar $\mathcal{C}$ pero aquí sólo me interesan las propiedades puramente teóricas de grupo de $\mathcal{C}$ que puede formularse sin hacer referencia al significado geométrico de $\mathcal{C}$ . Por ejemplo, las operaciones por satélite prometen revelar mucho sobre $\mathcal{C}$ pero (que yo sepa) nada sobre el tipo de isomorfismo de $\mathcal{C}$ .

Estas son las propiedades de $\mathcal{C}$ que se me ocurra:

1. $\mathcal{C}$ es contable y abeliano.
2. Existe un epimorfismo $\mathcal{C}\to \mathbb{Z}^{\infty}$ (la suma de un número contable de copias de $\mathbb{Z}$ ).
3. Existe un epimorfismo de escisión $p\colon\mathcal{C}\to (\mathbb{Z/2})^{\infty}$ (es decir, existe $i\colon (\mathbb{Z/2})^{\infty}\to \mathcal{C}$ tal que $p\circ i$ es la identidad de $(\mathbb{Z/2})^{\infty}$ ).

Por supuesto, cualquier epimorfismo como en 2. se divide automáticamente, ya que $\mathbb{Z}^{\infty}$ es gratis.

¿Estas tres propiedades son todo lo que se sabe?

He aquí cómo se pueden demostrar las tres propiedades:

1. Cada nudo tiene un diagrama, y está claro que sólo hay un número contable de tipos de isotopías de diagramas, por lo que sólo hay un número contable de tipos de isotopías de nudos. Se puede ver que la suma conectada es abeliana agitando las manos.
2. Tal epimorfismo viene dado por (la mitad de) las firmas de Levine-Tristram en $e^{2\pi i/m}$ para $m$ sobre los números primos.
3. Un epimorfismo de este tipo puede construirse, por ejemplo, eligiendo nudos anfichirales $K_1, K_2, ...$ cuyos polinomios de Alexander $\Delta(K_j)$ son irreducibles y no están relacionados por pares mediante la multiplicación por una unidad. Tomemos $i$ sea la inclusión del subgrupo de $\mathcal{C}$ generados por las clases $[K_j]$ . Sea $p$ enviar una clase de concordancia de nudos representada por un nudo $J$ a la suma de los $[K_j]$ para el que el máximo $e$ tal que $\Delta(K_j)^e$ divide $\Delta(J)$ es impar.

En lugar de nudos de corte suave, se puede hacer un cociente por nudos de corte topológico (límites de discos incrustados localmente planos), lo que da el grupo de concordancia de nudos topológicos $\mathcal{C}_{t}$ . La misma pregunta puede hacerse sobre $\mathcal{C}_{t}$ .

Answer 1

Son los siguientes no resultados puramente algebraicos pero contienen información crucial sobre el grupo de concordancia suave $\mathcal C$ :

1. Todo nudo es concordante con un nudo primo.

Kirby, R. C., Lickorish, W. R. (1979). Prime knots and concordance. En Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society (Vol. 86, No. 3, pp. 437-441). Cambridge University Press.

2. Toda clase de concordancia admite un representante hiperbólico.

Myers, R. (1983). Homology cobordisms, link concordances, and hyperbolic 3-manifolds. Transactions of the American Mathematical Society, 278(1), 271-288.

3. Los nudos Montesinos no pueden generar $\mathcal C$ .

Hendricks, K., Hom, J., Stoffregen, M., Zemke, I. (2020). Surgery exact triangles in involutive Heegaard Floer homology. arXiv preprint arXiv:2011.00113.