El problema principal está en la continuación analítica de la función zeta de los primos gemelos. ¡Nadie sabe cómo hacerlo!
¿Puede explicarlo? ¿Quizás dar una expresión para la función zeta de los primos gemelos y mostrar por qué es difícil?
En la actualidad, los mejores resultados sobre la aparición de primos gemelos se obtienen mediante métodos de criba, que son más combinatorios. Normalmente los métodos de criba no explotan la continuación analítica como ocurre cuando se trabaja con la función zeta. pero siempre es interesante experimentar con diferentes enfoques posibles. Intento decir más en lo que sigue.
Su pregunta sobre el posible descubrimiento de un producto de Euler sobre primos gemelos es natural. Pero, como también se ha señalado en la discusión, hay problemas muy importantes que habría que superar. Una explicación bastante elemental de las dificultades podría ser algo así: en el semiplano $$\{s = \sigma + it : 1 < \sigma\}\tag*{(1)}$$ tenemos la conocida identidad del producto de Euler $$\prod_p (1 - p^{-s})^{-1} = \sum_{n = 1}^\infty n^{-s},\tag*{(2)}$$ donde aquí $p$ siempre denota un número primo. Al demostrar la identidad $(2)$ se hace uso del teorema fundamental de la aritmética: cada número entero positivo tiene una representación única como producto de números primos, donde "única" tiene un cierto significado técnico que estoy seguro de que el lector entiende. Como es bien sabido, si $K$ es un subconjunto compacto del semiplano $(1)$ entonces tanto el producto de la izquierda de $(2)$ y la suma a la derecha de $(2)$ convergen absoluta y uniformemente en $K$ . Esto lleva fácilmente a la conclusión de que ambos lados de $(2)$ definen la misma función analítica de $s$ en el semiplano $(1)$ . El rasgo realmente llamativo de la identidad $(2)$ es que los números primos indexan el producto por la izquierda, pero los enteros positivos indexan la suma por la derecha.
Si escribimos $\zeta(s)$ para la función definida en el semiplano $(1)$ por $(2)$ entonces parece que podríamos investigar las propiedades de $\zeta(s)$ utilizando la representación del lado derecho de $(2)$ y así aprender todo sobre $\zeta(s)$ sin necesidad de saber nada sobre números primos. Entonces podríamos utilizar nuestro conocimiento de $\zeta(s)$ para descubrir resultados sobre los números primos. Parece un plan de investigación excelente, pero hasta ahora sólo ha tenido un éxito parcial. Por ejemplo, utilizando la representación de $\zeta(s)$ como la suma -la serie de Dirichlet- a la derecha de $(2)$ es posible descubrir la ecuación funcional para $\zeta(s)$ y descubrir también la continuación analítica de $\zeta(s)$ a una función analítica $\mathbb{C}$ excepto el polo simple en $s = 1$ . En el único artículo de Riemann sobre la función zeta, publicado en 1859, se indicaban varias formas de establecer la ecuación funcional. Riemann también dejó claro que cuando se tratara de establecer resultados sobre los números primos, los ceros de la función desempeñarían un papel crucial. $\zeta(s)$ . Riemann produjo una fórmula explícita para una función de recuento de primos en la que existe una suma sobre los ceros de la función $\zeta(s)$ . Y por supuesto conjeturó que los ceros no triviales tendrían parte real igual a $1/2$ .
A medida que se desarrollaba la teoría de la función zeta, se hizo evidente que para investigar los ceros no triviales de la función zeta sería necesario explotar la representación del producto de Euler de la izquierda de $(2)$ . Asumo que el lector está familiarizado con la prueba de que $\zeta(1 + it) \neq 0$ utilizando la desigualdad elemental $$0 \le 2(1 + \cos \theta)^2 = 3 + 4\cos\theta + \cos2\theta.$$ Observarás que la demostración hace uso de la representación del producto de Euler a la izquierda de $(2)$ . En la actualidad, las mejores regiones libres de ceros conocidas para la función zeta utilizan todas el producto de Euler de forma no trivial. Por lo tanto, el plan esbozado anteriormente, para aprender todo sobre $\zeta(s)$ utilizando la serie de Dirichlet en el lado derecho de $(2)$ ha resultado ser un tanto ingenuo. Hoy en día parece que hay que explotar tanto la serie de Dirichlet para la función zeta como el producto de Euler para la función zeta.
En su pregunta proponía un enfoque (más o menos) análogo para estudiar la distribución de los primos gemelos. He aquí una ligera variante de su planteamiento. En primer lugar, defina $$T = \{p : p \text{ and }p - 2\text{ are both prime numbers}\} = \{5, 7, 13, 19, \ldots\}.$$ Luego en el semiplano $(1)$ podríamos definir un producto de Euler correspondiente. Un simple cálculo muestra que $$\prod_{p \in T} (1 - p^{-s})^{-1} = \prod_{p \in T} (1 + p^{-s} + p^{-2s} + p^{-3s} + \ldots) = \sum_{n = 1}^\infty b(n)n^{-s},\tag*{(3)}$$ donde los coeficientes de la serie de Dirichlet a la derecha de $(3)$ vienen dadas por $$b(n) = \begin{cases} 1 & \text{if }n = 1 \\ 1 & \text{if }n = p_1^{e_1}p_2^{e_2}\ldots p_L^{e_L},\text{ where }\{p_1, \ldots, p_L\} \subseteq T \\ 0 & \text{if }p \mid n,\text{ where }p\text{ is prime and }p \notin T.\end{cases}\tag*{(4)}$$ De nuevo las manipulaciones elementales del producto y la serie en $(3)$ puede justificarse por la convergencia absoluta y uniforme de los productos parciales y sumas parciales pertinentes en subconjuntos compactos del semiplano $(1)$ . Al igual que con la función zeta, podemos concluir que las expresiones a ambos lados de $(3)$ definen la misma función analítica en el semiplano derecho $(1)$ . Escriba a $\zeta_T(s)$ para la función definida en el semiplano derecho $(1)$ tanto por el lado izquierdo como por el derecho de $(3)$ . Ahora, sin embargo, nos encontramos con una dificultad formidable. El producto de la izquierda de $(3)$ que define $\zeta_T(s)$ está indexado por los misteriosos primos gemelos. Y la suma a la derecha de $(3)$ que también define $\zeta_T(s)$ contiene la función igualmente misteriosa $b(n)$ . Por lo tanto, ninguna de las partes de $(3)$ puede investigarse de forma sencilla. Alternativamente, si definimos $$U = \{n : 1 \le n \text{ and }b(n) = 1\},$$ entonces, a diferencia de lo que ocurre con los números primos y los enteros positivos, ambos $T$ y $U$ son subconjuntos misteriosos de los enteros positivos.
Un problema básico sin resolver es decidir si $T$ es un conjunto finito o infinito. Evidentemente, no necesitaríamos utilizar la función zeta de Riemann para decidir si el conjunto de números primos (ordinarios) es finito o infinito. Consideremos, pues, la posibilidad de que $\zeta_T(s)$ definido por $(3)$ podría arrojar algo de luz sobre la cuestión ¿es $T$ ¿un conjunto finito o un conjunto infinito? Empecemos por asumiendo que $T$ es un conjunto finito. Bajo este supuesto, el producto de Euler a la izquierda de $(3)$ es finita, por lo que define una función analítica en cada punto $s$ en $\mathbb{C}$ excepto esos puntos $s$ que satisfagan $(1 - p^{-s}) = 0$ para algún primo $p$ en el finito configure $T$ . Es fácil ver que si $p$ es un número primo en $T$ entonces $$\{s \in \mathbb{C} : (1 - p^{-s}) = 0\} = \left\{ {{2\pi i m}\over{\log p}} : m \in \mathbb{Z}\right\}.\tag*{(5)}$$ Además, si $p_1$ y $p_2$ son distinto números primos en $T$ si $m_1$ y $m_2$ son números enteros, podemos preguntarnos si $${{2\pi im_1}\over{\log p_1}} = {{2\pi im_2}\over{\log p_2}}.\tag*{$ (6) $}$$ Pero $(6)$ implica que $p_1^{m_2} = p_2^{m_1}$ y por el teorema fundamental de la aritmética esto ocurre si y sólo si $m_1 = m_2 = 0$ . Así pues, concluimos que $\zeta_T(s)$ es analítica en todos los puntos de $\mathbb{C}$ excepto en cada punto $$s = {{2\pi im}\over{\log p}}, \text{ where }p \in T,\text{ and }m \in \mathbb{Z}, \text{ and }m \neq 0,$$ donde tiene un polo simple---es decir un polo de orden $1$ . Y en $s = 0$ donde $\zeta_T(s)$ tiene un polo de orden $|T|$ donde $|T|$ es el número de primos en $T$ . En resumen, si $T$ es un conjunto finito sabemos mucho sobre la función analítica $\zeta_T(s)$ . Sabemos que $\zeta_T(s)$ tiene un número contable de polos, cada polo se encuentra en el eje imaginario, hay un polo de orden $|T|$ en $s = 0$ y todos los polos restantes son polos simples en los puntos no nulos de los conjuntos $(5)$ . También sabemos que $\zeta_T(s)$ nunca toma el valor $0$ en $\mathbb{C}$ . Esto se deduce de la observación de que $${1\over{\zeta_T(s)}} = \prod_{p \in T} ( 1 - p^{-s})\tag*{(7)}$$ es analítica en todas partes en $\mathbb{C}$ . Si $\zeta_T(s)$ tiene un cero en $s = \alpha$ entonces su recíproco $(7)$ tendría un poste en $s = \alpha$ .
Hemos extraído estas conclusiones partiendo del supuesto de que $T$ es un conjunto finito, y es muy posible que éste sea el estado real de las cosas. Sin embargo, si queremos demostrar que $T$ es un conjunto infinito, entonces podríamos intentar derivar una contradicción a algún hecho que hayamos derivado sobre $\zeta_T(s)$ suponiendo que $T$ es finito. Podríamos intentar derivar una contradicción explotando el hecho de que tenemos otra representación para $\zeta_T(s)$ dada por la serie de Dirichlet $$\zeta_T(s) = \sum_{n = 1}^\infty b(n)n^{-s}.\tag*{$ (8) $}$$ En la actualidad, la representación $(8)$ no ha sido útil porque contiene los misteriosos coeficientes $b(n)$ . Los coeficientes $b(n)$ codifican la información de los primos gemelos de una manera que difiere significativamente de la forma en que $T$ codifica la información de los primos gemelos. Por lo tanto, podemos decir bastante sobre la función $\zeta_T(s)$ si $T$ es finita, pero la identidad básica $(3)$ no nos proporciona realmente una nueva herramienta, o la herramienta adecuada, para ir más allá.
Actualización. Permítanme que vuelva a plantear la pregunta. El punto al que converge el producto de Euler $s = 1$ es bastante bueno. Una forma de responder a la pregunta en cuestión es simplemente que la serie de Dirichlet es mucho más difícil de entender. Queremos definir $$F(s) = \prod_{p \text{ twin prime}} \left(1 - \frac{1}{p^s} \right)^{-1} = \sum_n \frac{b(n)}{n^s}$$ para algunas funciones aritméticas $b(n)$ ---esencialmente registrando si $n$ es un producto de primos gemelos o no. Toma, $b(n)$ no es tan agradable como la función $1$ que aparece en la función zeta. En particular, se puede decir lo siguiente---en orden creciente de sofisticación.
- La función zeta que tiene un polo en $1$ está esencialmente relacionada con $\sum_n 1/n$ diverge --esto es relativamente fácil de demostrar-- e implica que hay infinitos primos. Entendiendo $\sum_n b(n)/n$ es mucho más difícil y, como se ha señalado, depende de los límites de la teoría del tamiz. Demostrar que $\sum_n b(n)/n^a$ diverge para algunos $0<a<1$ muestra que hay infinitos primos gemelos, y este es el problema original---difícil. En cambio, demostrar $\sum_n 1/n^a$ diverge para $a<1$ es "trivial".
- No se puede aplicar la suma parcial a la serie de Dirichlet de $F(s)$ para obtener la continuación analítica. A diferencia de la función zeta donde $\sum_{n\le x} 1 = [x]$ es fácil de entender.
- Los coeficientes para zeta--y otros $L$ -funciones--- surgen de ciertas representaciones--- esto significa que $\zeta(s)$ puede expresarse como la transformada de Mellin de alguna forma automórfica y, por tanto, puede continuarse en todas partes. Además, la automorfía implica la ecuación funcional para $\zeta(s)$ . En este contexto, esto es equivalente a la suma de Poisson y la suma de Poisson---y otros métodos analíticos de Fourier---parecen no ayudar con los coeficientes $b(n)$ .
- En un plano más estructural, es imposible que $F(s)$ continuarse analíticamente con una ecuación funcional estándar de grado $1$ ---eso implicaría $F(s)$ pertenece a la clase Selberg, y todo grado $1$ La clase Selberg ha sido clasificada.
La conjetura natural sería que $F(s)$ no puede ser continuado meromórficamente a todo el plano complejo--y creo que esto puede probablemente demostrarse asumiendo ciertas conjeturas. La respuesta general es que demostrando ciertas propiedades fundamentales de $\zeta(s)$ no depende de ningún conocimiento sobre los primos, mientras que incluso los hechos básicos sobre $F(s)$ necesitan conocimientos sobre primos gemelos para que la comprensión $F(s)$ se remonta al difícil problema original de comprender los primos gemelos. Se mencionó un recuento más exacto de los primos gemelos. En este contexto, tal vez sea útil echar un vistazo a lo siguiente.
https://en.wikipedia.org/wiki/Twin_prime#First_Hardy%E2%80%93Littlewood_conjecture
O las conjeturas más generales de Hardy-Littlewood que sí establecen una asintótica exacta para estas cosas.
Si tienes mucha energía, puedes echar un vistazo al Boletín de Soundararajan.
https://arxiv.org/abs/math/0605696
