Demostrar que un conjunto dado de vectores en un lado de un hiperplano es una base

Question

Sea $v_1, \ldots, v_n$ sea $n$ vectores en $\mathbb{R}^n$ . Supongamos que existe un hiperplano $H$ a través del origen tal que $v_1, \ldots, v_n$ están estrictamente en un lado de $H$ . Supongamos también que el ángulo entre dos vectores cualesquiera $v_i$ y $v_j$ es obtuso. Entonces demuestre que $\{v_1, \ldots, v_n\}$ es una base de $\mathbb{R}^n$ .

No sé cómo proceder. Dado que mencionan explícitamente ángulo estoy asumiendo que podría necesitar para utilizar el producto punto o algo así, pero eso es lo más lejos que llegué.

Answer 1

Supongamos que los vectores están todos en el semiespacio $ax > 0$ y que alguna combinación lineal de ellas es cero, $c_1 v_1 + \dots + c_n v_n = 0$ .

Entonces, $a(c_1v_1 + \dots + c_nv_n) = c_1(av_1) + c_2(av_2) + \dots + c_n(av_n) = 0$ por lo que si $c_i$ es distinto de cero, debe haber coeficientes tanto de signo positivo como negativo. Ahora podemos reetiquetar de modo que $c_1, c_2, \dots, c_j$ son los coeficientes positivos y $c_{k}, c_{k+1},\dots,c_n$ son los coeficientes negativos.

Ahora, ambos vectores $v = c_1v_1 + c_2v_2 + \dots + c_jv_j$ y $w = (-c_{k})v_{k} + (-c_{k+1})v_{k+1} + \dots + (-c_n)v_n$ tienen coeficientes positivos, y $v = w$ ¿Qué pasa si intentamos calcular $\|v\|^2 = v \cdot w$ ?