Valor esperado de una suma de impulsos

Question

Dada una función muestral X(t) de un proceso aleatorio como

\begin{equation} X(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} {[\mathcal{H}(t-nT-to) - \mathcal{H}(t-nT-to-T/2)]} \end{equation}

donde A y B son constantes, y a se distribuye uniformemente de 0 a T.

El proceso es ergódico, ya que se trata de un conjunto de funciones de impulso con una variable aleatoria como origen temporal (to).

¿Cómo se podría evaluar su valor esperado sin argumentar que se trata de un proceso ergódico (y así evaluar su promedio temporal)?

Answer 1

No es necesario suponer ergodicidad, etc. $\mathcal H(t-nT - t_0)$ es un función de la variable aleatoria $t_0$ y su valor esperado es $$E[\mathcal H(t-nT - t_0)] = \int_0^T \mathcal H(t-nT - x)\frac{1}{T} \, \mathrm dx$$ y lo mismo para el otro término. Obsérvese que si $\mathcal H(\cdot)$ en distinto de cero sólo cuando su argumento está en $[0,T]$ para cualquier $t$ el integrando de la integral anterior es cero para todas las opciones de $n$ excepto uno o dos valores específicos. Por lo tanto, en $$E[X(t)] = E\left[\sum_{n=-\infty}^\infty \mathcal H(\cdots \right] = \sum_{n=-\infty}^\infty E[\mathcal H(\cdots$$ la mayoría de esas expectativas son nulas.