Si las matrices $A$ y $B$ conmutar, $A$ con valores propios distintos, entonces $B$ es un polinomio en $A$

Question

Si $A\in M_{n}$ tiene $n$ valores propios distintos y si $A$ conmuta con una matriz dada $B\in M_{n}$ ¿cómo puedo demostrar que $B$ es un polinomio en $A$ de grado como máximo $n-1$ ? Creo que primero tengo que demostrar que $A$ y $B$ son simultáneamente diagonalizables, pero no sé cómo empezar. Cualquier consejo es muy apreciado.

Answer 1

A la pregunta ¿Por qué la diagonalización de una matriz B con la base de una matriz conmutativa A da una matriz diagonal en bloque? se puede ver por qué una base consistente en vectores propios para $A$ también diagonalizará $B$ .

Dado que todas las matrices que conmutan con $A$ se diagonalizan mediante una base de vectores propios para $A$ y, a la inversa, cualquier matriz diagonalizada por una base de vectores propios para $A$ conmuta con $A$ el conjunto de matrices que conmutan con $A$ forma un subespacio vectorial de $M_n$ de dimensión $n$ . Las matrices $I,A,A^2,\ldots,A^{n-1}$ se encuentran en este subespacio. Se puede demostrar que estas matrices son linealmente independientes utilizando los hechos de que $A$ tiene $n$ valores propios distintos, y que un polinomio no nulo de grado como máximo $n-1$ sobre un campo puede tener como máximo $n-1$ ceros. Espero que eso ayude.

Answer 2

En el marco de la pregunta, el polinomio $g\in K[X]$ de grado $ < n$ tal que $B=g(A)$ viene dada por la fórmula de interpolación de Lagrange. [Aquí $K$ es el campo de tierra]. En efecto, dejando $a_i$ y $b_i$ son los valores propios de $A$ y $B$ (numerados de forma coherente), tenemos $$ g(X)=\sum_{i=1}^n\ b_i\ \prod_{j\not=i}\ \frac{X-a_j}{a_i-a_j}\quad. $$

En términos más generales $A,B\in M_n(K)$ ser dos $n$ por $n$ matrices con coeficientes en un campo $K$ , dejemos que $f\in K[X]$ sea el polinomio mínimo de $A$ y que $d$ sea su grado. Claramente:

(1) Si $B$ es un polinomio en $A$ entonces hay un polinomio único $g\in K[X]$ de grado inferior a $d$ tal que $B=g(A)$ .

Sea $e_1,\dots,e_r$ son los idempotentes mínimos de $K[A]\simeq K[X]/(f)$ [isomorfismo canónico], y poner $V_i:=e_iK^n$ . Entonces $K^n$ es la suma directa de los $V_i$ . Sea $A_i$ sea la restricción de $A$ a $V_i$ . Entonces hay distintos polinomios irreducibles mónicos $f_i$ y hay números enteros positivos $m_i$ tal que $K[A_i]\simeq K[X]/(f_i^{m_i})$ [isomorfismo canónico], y $f$ es el producto del $f_i^{m_i}$ .

Supongamos que $A$ y $B$ conmutar. Entonces $BV_i\subset V_i$ para todos $i$ . Sea $B_i$ sea la restricción de $B$ a $V_i$ .

Entonces $B$ es un polinomio en $A$ si y sólo si cada $B_i$ es un polinomio en $A_i$ .

Más concretamente, si $B_i=g_i(A_i)$ el polinomio $g$ de (1) es el único grado menor que $d$ solución a las congruencias $$ g\equiv g_i\ \bmod\ f_i^{m_i} $$ (véase el Teorema Chino del Resto).

Si los valores propios de $A$ están en $K$ (como siempre cabe suponer), el $f_i$ tener un título $1$ y las congruencias pueden resolverse mediante la fórmula de Taylor. Más concretamente, si $f_i=X-a_i$ entonces $$ g(X)=\sum_{i=1}^r\ T_i\left(g(X)\frac{(X-a_i)^{m_i}}{f(X)}\right)\frac{f(X)}{(X-a_i)^{m_i}}\quad, $$ donde $T_i(h(X))$ significa "grado inferior a $m_i$ Aproximación de Taylor de $h(X)$ en $X=a_i$ ". [Tenga en cuenta que $V_i$ es el $a_i$ -eigenspace generalizado].

Answer 3

En primer lugar, si $B$ conmuta con $A$ entonces todo espacio eigénico de $A$ est $B$ -estable (véase aquí para una prueba muy sencilla). Dado que estos eigenspaces son por suposición $1$ -cualquier vector propio de $~A$ es un vector propio de $~B$ también. Así que cualquier cambio de base que diagonalice $A$ diagonalizará simultáneamente $~B$ . (Pero $B$ puede tener valores propios repetidos, en cuyo caso la inversa no es cierta).

Para demostrar que $B$ es un polinomio en $~A$ podemos realizar primero dicho cambio de base para reducir al caso en el que $A$ es diagonal; necesitamos demostrar que entonces toda matriz diagonal es un polinomio en $~A$ . El núcleo del mapa $P\mapsto P[A]$ a partir de polinomios $~P$ a matrices está generado por el polinomio mínimo $(X-\lambda_1)\ldots(X-\lambda_n)$ de $~A$ que tiene grado $~n$ . La restricción de ese mapa a polinomios de grado inferior a $~n$ es por tanto inyectiva, y mapea al espacio $~D_n$ de la diagonal $n\times n$ que también tiene dimensión $~n$ el mapa es por tanto suryectivo (biyectivo) a $~D_n$ y $B=P[A]$ para algunos $P$ .