Recuento en modo cavidad

Question

Estoy leyendo el libro "Laser Fundamentals" de William T. Silvast y menciona que el número de modos de cavidad se puede calcular como un octante de un volumen esférico, es decir

$M=\frac{1}{8}\frac{4\pi}{3}(\frac{2L_x2L_y2L_z}{\lambda^3})$

donde M es el número de modos, $L_x / L_y / L_z$ son las longitudes de la cavidad rectangular. Sé que la razón por la que tenemos $\frac{1}{8}$ es porque el número de modos es positivo, pero ¿por qué utilizamos el volumen esférico para calcular el número de modos al principio? Gracias.

Answer 1

No estoy muy seguro del contexto. Sin embargo, si el objetivo es calcular el número de modos que tienen una longitud de onda $\lambda_k > \lambda$ entonces se procede como sigue:

Los vectores de onda dentro de una cavidad deben cumplir $$k_i = \frac{\pi n_i}{L_i}$$ donde $i \in \lbrace x,y,z\rbrace$ . Los vectores de onda válidos forman un entramado rectangular dentro del $k$ -con las distancias de red de $\frac{\pi }{L_i}$ . Esto significa que el volumen en el $k$ -el espacio ocupado por un solo modo es $$v_k = \frac{\pi^3}{L_xL_yL_z}$$ Ahora sabemos $|k| = \tfrac{2\pi}{\lambda_k}$ por lo que el volumen en el $k$ -espacio correspondiente a todas las longitudes de onda mayores $\lambda$ es $$V = \frac{4\pi}{3}\left(\frac{2\pi}{\lambda}\right)^3$$ Ahora $M$ sigue: $$M = \frac{V}{v_k} = \frac{4\pi}{3}\frac{8 L_x L_y L_z}{\lambda^3}$$ Si se considera un octante, nos dará el factor $1/8$ .