Ejercicio de geometría diferencial de Schaum sobre curvatura

Question

Página 72 ejercicio 4.5, se da la siguiente situación:

Hay una curva $\underline{x}(t)$ con $t$ no es un parámetro natural. Tengo que encontrar el vector de curvatura $\underline{k}$ y la curvatura $k$ en el punto correspondiente en $t=1$ (detalles del problema más abajo).

He encontrado el vector unitario tangente $t=\frac{\underline{x'}}{|\underline{x'}|}$

Escribo la derivada de un vector $\underline{v}$ con respecto a un parámetro natural $s$ como $\underline{v}^{*}$

Entonces sé que $\underline{k}= \underline{t}^{*}$ Luego en el libro esto continúa como $\underline{k}= \underline{t}^{*} = \frac{\underline{t}'}{|\underline{x}'|}$

¿Por qué se mantiene la última igualdad? ¿Es válida en general? No puedo ver por qué se mantiene, pero creo que es bastante fácil.

Detalles del ejercicio

La curva es $\underline{x}=t \underline{e_1}+ \frac{1}{2} t^2 \underline{e_2}+ \frac{1}{3} t^3 \underline{e_3}$

Answer 1

Esa es la regla de la cadena: Si $u$ denota el parámetro de la curva y $s$ el parámetro de longitud de arco, entonces $ds/du = |x'(u)|$ es la velocidad, por lo que $$ t^{*} = \frac{dt}{ds} = \frac{dt}{du} \cdot \frac{du}{ds} = \frac{dt/du}{ds/du} = \frac{t'}{|x'|}. $$