Valor esperado de Compond Proceso de Poisson

Question

Me cuesta entender por qué hacemos esto:

Información

Definición. Un proceso estocástico $\{X(t),t\geq 0\}$ es un proceso de Poisson compuesto si $$X(t) = \sum_{i=1}^{N(t)} Y_i, \qquad t\geq 0$$ donde $\{N(t),t\geq 0 \}$ es un proceso de Poisson y
$\{Y_i , i = 1,2,3,\ldots\}$ son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas.

Valor esperado

Esto es lo que hicieron $$\mathbb{E}(X(t))=\mathbb{E}(\mathbb{E}(X(t)\mid N(t))) \qquad \text{law of total expectation} \\ = \mathbb{E}\left\{\mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^{N(t)}Y_i\mid N(t) \right] \right\}\\ = \mathbb{E}(N(t)\mathbb{E}(Y_1)) = \lambda t \mathbb{E}(Y_1).$$

Consulta

No entiendo por qué en la primera igualdad, utilizaron la ley de la expectativa total. ¿Qué sentido tiene? ¿No puedo simplemente tener
$$\mathbb{E}(X(t)) = \mathbb{E} \left(\sum_{i=1}^n Y_i\right)= \sum_{i=1}^{N(t)} \mathbb{E}(Y_i) \qquad \text{by independence} \\ =N(t)\mathbb{E}(Y_1)$$ lo que claramente no es correcto, pero ¿por qué no es correcto? Además, ¿cómo pasaron de la segunda igualdad a la tercera?

Gracias de antemano.

Answer 1

El movimiento que es ilegal es: $$ \mathbb E\left(\sum_{i=1}^{N(t)}Y_i\right) = \sum_{i = 1}^{N(t)}\mathbb{E}(Y_i). $$

Esto sería cierto si $N(t)$ fuera no aleatorio, pero no es cierto si es aleatorio. Como ha indicado Shalop en los comentarios, ni siquiera tiene sentido, ya que el lado derecho de la ecuación es aleatorio, pero el lado izquierdo no lo es.

Pero es cierto que $$ \mathbb E\left(\sum_{i=1}^{N(t)}Y_i\right) = \mathbb E(N(t))\mathbb E(Y_1),$$ como mostraba tu primera solución. Este resultado es un caso de Teorema de Wald

En cuanto a cómo pasaron de la segunda línea a la tercera, utilizaron el hecho de que como estamos condicionando en $N(t)$ es efectivamente una constante. Entonces $$ \mathbb E\left(\mathbb E\left[\sum_{i=1}^{N(t)}Y_i\mid N(t)\right]\right) = \mathbb E\left(\sum_{i=1}^{N(t)}\mathbb E\left[Y_i\mid N(t)\right]\right) =\mathbb E\left(N(t)\mathbb E(Y_i)\right) = \mathbb E(N(t))\mathbb E(Y_i)$$

donde en las dos últimas ecuaciones hemos utilizado la independencia de $N(t)$ et $Y_i$ y el hecho de que todos los $\mathbb E(Y_i)$ son los mismos.