Sea $A$ sea un C $^{*}$ -y que $\epsilon>0$ se dará. Intento resolver el siguiente problema (Ejercicio 2.7. del pequeño libro azul de Rordam):
Demuestre que existe un $\delta>0$ con la siguiente propiedad: Si $a\in A$ et $\|a-a^{*}\|\leq\delta$ et $\|a-a^{2}\|\leq \delta$ entonces existe una proyección $p$ tal que $\|a-p\|\leq \epsilon$ .
Siguiendo la pista, suponemos que $\epsilon <1/2$ y establece $b=\frac{a+a^{*}}{2}$ . Entonces, no es difícil ver que $\sigma(b)\subset[-\epsilon,\epsilon]\cup[1-\epsilon,1+\epsilon]$ siempre que $\|b-b^{2}\|\leq\epsilon-\epsilon^{2}$ . La pista sugiere poner $p:= f(b)$ para alguna función continua $f$ . Puesto que suponemos $\epsilon<1/2$ , $\sigma(b)$ está desconectado, así que estaba pensando en hacer $f$ idénticamente $0$ en $[-\epsilon,\epsilon]$ e idénticamente $1$ en $[1-\epsilon,1+\epsilon]$ o viceversa. Entonces, por el Teorema del Mapeo Espectral, $p$ sería una proyección. Sin embargo, no estoy seguro de cómo concluir que $\|a-p\|\leq \epsilon$ o si ésta es siquiera la elección correcta de $p$ .
Además, es de suponer que el hecho de que $\|b-b^{2}\|\leq\epsilon-\epsilon^{2}$ que utilizamos se deduce de nuestra elección de $\delta$ y la definición de $b$ . Sin embargo, al probar esto, se me ocurrió una $\delta$ en términos de $a$ pero la forma en que se formula la pregunta sugiere que el mismo $\delta$ debe valer para todos $a$ satisfaciendo $\|a-a^{*}\|,\|a-a^{2}\|\leq\delta$ . ¿Es posible elegir el $\delta$ independiente de $a$ ?
¡Muchas gracias!
