Equivalencia de valoraciones - Problemas para entender la prueba

Question

Quiero completar la demostración del siguiente teorema. Esto es lo que he conseguido hasta ahora:

Teorema Toda valoración no euclidiana $v$ en un campo numérico $K$ es equivalente a $v_{\mathfrak p}$ para algún ideal primo $\mathfrak p$ de $\mathbb O_K.$

prueba: Sea $R_v$ sea el anillo de valoración de $K$ en relación con $v$ es integralmente cerrado (por lema 1 ) para que contenga $\mathbb O_K$ . La idea máxima $m_v$ es primo por lo que $\mathfrak p = m \cap \mathbb O_K$ es un ideal primo de $\mathbb O_K$ por lema 2 . Para mostrar $v$ igual a $v_{\mathfrak p}$ demostraremos que $R_{v_{\mathfrak p}} \subseteq R_v$ lo que da la equivalencia por lema 3 . (Pero aquí me atasco.. por favor dime si sabes como terminar u otra forma de probar esto)

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• $\mathbb O_K$ es el anillo de enteros de $K$ los elementos de $K$ que satisfacen un polinomio irreducible mónico con coeficientes enteros.
• anillo de valoración : $R_v = \{ x \in K | v(x) \ge 0 \}$
• ideal maximal : $m_v = \{ x \in K | v(x) > 0 \}$

Definición Para un ideal primo $\mathfrak p$ del anillo de enteros de un campo numérico $K$ definimos la valoración $v_{\mathfrak p}(x) =$ el exponente de $\mathfrak{p}$ en la factorización del ideal fraccionario $x \mathbb O_K$ está bien definida por factorización única de ideales.

Lema (1) Si $R$ es un anillo de valoración de $K$ entonces $R$ es integralmente cerrado en $K$ . (prueba ici )

Lema (2) Si $R$ es un subring de $R'$ et $m$ un ideal de $R'$ entonces $m \cap R$ es un ideal de $R$ . Además, si $m$ es primo en $R'$ entonces $m \cap R$ es primo en $R$ . (No es difícil si escribes la definición de ideal y demuestras cada propiedad).

Lema (3) si $R_u \subseteq R_v$ son anillos de valoración de $u,v$ entonces $u \equiv v$ (la equivalencia de las valoraciones se define ici (He omitido la prueba, pero puedo añadirla si me la piden).

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Creo que la idea de la prueba es relacionar las valoraciones relacionando los anillos a través de sus ideales. Yo estaba tratando de hacer esto comenzando con $x \in \mathbb O_K$ tenemos $v(x) = 0$ implica $x \not \in m_v$ así que $x \not \in \mathfrak p$ así que $v_{\mathfrak p}(x) = 0$ pero necesito probar algo como esto para todos $v(\frac{x}{y})$ .

Gracias por cualquier pista o consejo sobre cómo completar esta prueba.

Answer 1

Tenga en cuenta que $R_{v_{\mathfrak p}}$ no es más que la localización de $O_K$ en el ideal máximo $\mathfrak p$ . Así que cada uno de sus elementos $x$ puede escribirse como $$x=a/s, \quad a\in O_K, s\in O_K\setminus \mathfrak p.$$ Tenemos $v(s)\le 0$ porque de lo contrario $s\in m_v\cap O_K=\mathfrak p$ . Así que $v(x)\ge 0$ (porque $a\in O_K\subseteq R_v$ ) y $x\in R_v$ .