Diferencia entre $\mathrm{rot}$ et $\mathrm{Rot}$ (Rizo)

Question

No sé si has oído hablar de esa diferencia y si tiene importancia en las notaciones inglesas. En alemán al menos se define:

$$\mathrm{rot\,\textbf{V}} = \nabla \times \textbf{V}, \quad\text{where $ \textbf{V} $ is a continuously differentiable Vectorfield $ \mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3 $} $$

y de la misma manera

$$\mathrm{Rot}\textbf{V} = \frac{1}{2}\,\left(\textbf{V'-V'$ ^T $}\right),\quad \text{where $ \textbf{V'} $ should equal $ \ jacobiano(\textbf{V})} $}$$

Sólo soy consciente de: $\mathrm{rot}$ describe un vector, $\mathrm{Rot}$ una matriz. ¿Cuál es el problema?

Answer 1

$\newcommand{\Vec}[1]{\mathbf{#1}}\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}\newcommand{\Neg}{\phantom{-}}\DeclareMathOperator{\Rot}{Rot}\DeclareMathOperator{\rot}{rot}$ Existe un isomorfismo de espacio vectorial entre $\Reals^{3}$ y el conjunto de reales asimétricos $3 \times 3$ matrices dadas por $$ \phi\left[\begin{array}{@{}c@{}} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \\ \end{array}\right] = \left[\begin{array}{@{}ccc@{}} \Neg0 & -a_{3} & \Neg a_{2} \\ \Neg a_{3} & \Neg0 & -a_{1} \\ -a_{2} & \Neg a_{1} & \Neg 0 \\ \end{array}\right]. $$ Bajo este isomorfismo, el producto cruzado corresponde a la multiplicación de matrices en el sentido de que $$ \Vec{a} \times \Vec{v} = \phi(\Vec{a})\Vec{v} \quad\text{for all $ \Vec{v} $ in $ \Reals^{3} $.} $$ Resulta que $\phi(\rot\Vec{V}) = \Rot \Vec{V}$ .

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Para establecer esta afirmación, dejemos que $\Vec{V}$  sea un campo vectorial continuamente diferenciable y expandible en primer orden en un punto arbitrario: $$ \Vec{V}(\Vec{x}) = \Vec{V}(\Vec{x}_{0}) + D\Vec{V}(\Vec{x}_{0})(\Vec{x} - \Vec{x}_{0}) + o(\|\Vec{x} - \Vec{x}_{0}\|). $$ Si escribimos el jacobiano $$ D\Vec{V}(\Vec{x}_{0}) = \left[\begin{array}{@{}ccc@{}} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \\ \end{array}\right], $$ entonces por definición \begin{align*} \Rot\Vec{V}(\Vec{x}_{0}) &= \tfrac{1}{2}\bigl[D\Vec{V}(\Vec{x}_{0}) - D\Vec{V}(\Vec{x}_{0})^{\mathsf{T}}\bigr] \\ &= \left[\begin{array}{@{}ccc@{}} 0 & b_{1} - a_{2} & c_{1} - a_{3} \\ a_{2} - b_{1} & 0 & c_{2} - b_{3} \\ a_{3} - c_{1} & b_{3} - c_{2} & 0 \\ \end{array} \right]. \end{align*} Un breve cálculo da $$ \rot \Vec{V}(\Vec{x}_{0}) = (\nabla \times \Vec{V})(\Vec{x}_{0}) = \left[\begin{array}{@{}c@{}} b_{3} - c_{2} \\ c_{1} - a_{3} \\ a_{2} - b_{1} \\ \end{array}\right], $$ por lo que tenemos $\phi(\rot \Vec{V})(\Vec{x}_{0}) = \Rot \Vec{V}(\Vec{x}_{0})$ .

Así, por cierto, es como el rizo cuantifica la rotación en el flujo de  $\Vec{V}$ . Si descomponemos $A := D\Vec{V}(\Vec{x}_{0})$ como suma de una matriz simétrica sesgada  $R$ una matriz simétrica sin trazas  $S_{0}$ y una matriz escalar  $T$ (múltiplo de la identidad), entonces a primer orden en  $t$ , $\exp(tA) = \exp(tR) \exp(tS_{0}) \exp(tT)$ . Los factores respectivos de la derecha son una rotación (el rizo), una deformación que preserva el volumen y una escala (la divergencia).