¿La ley de Biot-Savart en un toroide?

Question

En electrodinámica clásica, dada la forma de un hilo conductor de corriente eléctrica, es posible obtener la configuración del campo magnético $\mathbf{B}$ a través de la Ley Biot-savart . Si el cable es una curva $\gamma$ parametrizado como $\mathbf{y}(s)$ donde $s$ es la longitud del arco, entonces

$$ \mathbf{B}(\mathbf{x}) = \beta \int_\gamma \dfrac{ d\mathbf{y}\times(\mathbf{x} - \mathbf{y}) }{|\mathbf{x} - \mathbf{y}|^3} = \beta \int_\gamma ds \dfrac{ \mathbf{y}'(s) \times(\mathbf{x} - \mathbf{y}(s)) }{|\mathbf{x} - \mathbf{y}(s)|^3} \, , $$

donde $\beta $ no es más que una constante física proporcional a la corriente en el cable.

Otra aplicación de la ley de Biot-Savart es hallar el campo de velocidades $\mathbf{v}$ alrededor de una línea de vórtice doblada en un fluido, en la aproximación del flujo de fluido incompresible e irrotacional (es decir. $\nabla \cdot \mathbf{v} =0$ et $\nabla \times \mathbf{v} =0$ casi en todas partes) y un diámetro muy fino del núcleo del vórtice. De hecho, al exigir que el vorticidad del fluido se concentra en el núcleo del vórtice (es decir, se distribuye como un pico delta de Dirac en el núcleo del vórtice),

$$ \mathbf{w}(\mathbf{x}) = \nabla \times \mathbf{v}(\mathbf{x})= c \int_\gamma ds \, \mathbf{y}'(s)\, \delta( \mathbf{x} - \mathbf{y}(s)) \, , $$

tenemos que el Descomposición de Helmholtz y el hecho $\delta(\mathbf{y}-\mathbf{x} ) = -\nabla^2 \, (4 \pi |\mathbf{y}-\mathbf{x}|)^{-1}$ nos dicen que

$$ \mathbf{v}(\mathbf{x})= \frac{c}{4 \pi} \int_\gamma ds \dfrac{ \mathbf{y}'(s) \times(\mathbf{x} - \mathbf{y}(s)) }{|\mathbf{x} - \mathbf{y}(s)|^3}$$

De nuevo, la constante $c$ no es más que una constante física que fija el valor del circulación del campo $\mathbf{v}$ alrededor del vórtice.

Esto es muy claro y funciona en $\mathbb{R}^3$ . Imaginemos ahora que el hilo (o la curva que parametriza el vórtice irrotacional) es una curva en el toroide tridimensional $\mathbb{T}^3 = S^1 \times S^1 \times S^1$ . ¿Cómo obtener el equivalente de la ley de Biot-Savart?

NOTA: estamos cambiando el colector base de $\mathbb{R}^3$ a $\mathbb{T}^3 $ pero las relaciones diferenciales locales no deberían cambiar (es decir, la definición de la forma 2 de la vorticidad como derivada externa de la forma 1 de la velocidad, o la forma local de las ecuaciones de Maxwell $dF = J$ ). El problema es que la ley de Biot-Savart no es local, por lo que se trata de un problema global que "siente" la topología de la variedad. Quizá al final la cuestión esté relacionada con cómo funciona la descomposición de Helmholtz en un toroide.

Answer 1

La ley Biot-Savart es esencialmente un caso de Función de Green . Si queremos resolver una EDP escalar, lineal e inhomogénea de la forma $$ Df=g $$ Dónde $D$ es un operador diferencial lineal, $f$ es la función desconocida, y $g$ es una función "fuente", podemos dividir esto en dos pasos: primero, podemos encontrar una familia de funciones de Green $G$ satisfaciendo $$ DG(x,y)=\delta(x-y) $$ donde $\delta$ es una función de Dirac, y $D$ se entiende para tratar $G$ en función únicamente del primer argumento. Entonces, utilizando la linealidad de $D$ podemos "dividir" la fuente $g$ en una integral de funciones delta y escribir la solución en términos de la función de Green. $$ f(x)=\int_Mg(y)G(x,y)dy $$ El resultado es que en muchos casos $G(x,y)$ tiene una forma muy simple debido a las simetrías del espacio subyacente. Una complicación es que este problema es intrínsecamente global, y a menudo se plantean cuestiones delicadas de existencia y unicidad. Si se trata de una EDP de valor vectorial, podemos elegir una base $e_i$ y pensar en $G$ como una función de valor "matricial" que satisface $D(G^i_j(x,y)e_i)=\delta(x-y)e_j$ .

Para su problema específico, la ley de Biot-Savart puede en principio generalizarse obteniendo una función de Green de la EDP magnetostática $\nabla\times B=J$ , $\nabla\cdot B=0$ en el toroide, con un conjunto apropiado de condiciones de contorno. No conozco una forma cerrada para dicha función de Green, pero utilizando la descomposición de Fourier debería ser posible encontrar al menos una solución en serie.

Answer 2

Dejaré constancia de algunas consideraciones de las que no estoy seguro al 100%, de ahí la wiki comunitaria.

Estoy de acuerdo en que las ecuaciones de Maxwell siguen siendo las mismas en el toroide. (Lo que cambia son las condiciones de contorno, pero esto no es importante aquí, creo). La ley de Biot-Savart es la solución a las ecuaciones de Maxwell con un término fuente filiforme $\gamma$ .

Ahora, identificando el toroide con $[0, 1]^3$ con una identificación adecuada de los puntos límite, vemos por compacidad que $\gamma$ es la suma de un número finito de filamentos $\gamma_j$ que figuran en $(0, 1)^3$ . Para cada una de ellas, la ley de Biot-Savart es exactamente la misma. Así pues, la ley de Biot-Savart es la misma para $\gamma$ También.