¿Cómo hace un objeto giratorio para seguir girando?

Question

Cuando un objeto gira, cada partícula del objeto experimenta una aceleración continua. ¿No significa eso que se está aplicando alguna fuerza? ¿Por qué no se detiene entonces cuando no se aplica ninguna fuerza? He leído que el "momento angular" debe conservarse. Pero darle un nombre no explica lo que ocurre.

Answer 1

Tienes razón en que cada partícula del cuerpo experimenta una fuerza cuando el cuerpo gira. Pero la comprensión clave es que esta fuerza se ejerce por otras partículas del cuerpo . De hecho, la conservación del momento angular de un sistema de partículas puede considerarse una consecuencia de los tres supuestos siguientes:

1. Las leyes de Newton se cumplen.
2. El sistema es aislado ninguna fuerza sobre ninguna partícula es ejercida por objetos externos al sistema.
3. La fuerza entre dos partículas cualesquiera del sistema es paralela a la línea que las une.

La derivación de esto se puede encontrar en la mayoría de los libros de texto de mecánica clásica basados en el cálculo, pero repasémoslo detenidamente.

Supongamos que tenemos un sistema de partículas numeradas 1, 2, 3, ..., cada una con su propia posición $\mathbf{r}_i$ e impulso $\mathbf{p}_i$ . Considere la cantidad $$ \mathbf{L} = \sum_i \mathbf{r}_i \times \mathbf{p}_i. $$ La tasa de variación de esta cantidad es $$ \frac{d\mathbf{L}}{dt} = \sum_i \left[\frac{d\mathbf{r}_i}{dt} \times \mathbf{p}_i + \mathbf{r}_i \times \frac{d\mathbf{p}_i}{dt} \right]. $$ El primer término desaparece para cada término de la suma, ya que $d\mathbf{r}_i/dt = \mathbf{v}_i$ que es paralelo a $\mathbf{p}_i$ . Utilizando la Segunda Ley de Newton, tenemos $d\mathbf{p}_i/dt = \mathbf{F}_i$ la fuerza total sobre la partícula $i$ . Ahora aplicamos nuestra segunda suposición, que esta fuerza se debe únicamente a las otras partículas del sistema: $$ \mathbf{F}_i = \sum_j \mathbf{F}_{ij} $$ donde $\mathbf{F}_{ij}$ es la fuerza sobre la partícula $i$ debido a la partícula $j$ . Por lo tanto, la tasa de cambio de $\mathbf{L}$ se convierte en $$ \frac{d\mathbf{L}}{dt} = \sum_{i,j} \mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_{ij}. $$ Ahora bien, también sabemos por la Tercera Ley de Newton que $\mathbf{F}_{ij} = - \mathbf{F}_{ji}$ (toda acción tiene una reacción igual y opuesta.) Podemos usar esto para reescribir esta suma; en particular, para cualquier término que contenga $\mathbf{F}_{ji}$ con $j > i$ podemos reescribirlo en términos de $\mathbf{F}_{ij}$ con $i < j$ . Por lo tanto, esto se convierte en $$ \frac{d\mathbf{L}}{dt} = \sum_{i<j} \left[ \mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_{ij} - \mathbf{r}_j \times \mathbf{F}_{ij}\right] = \sum_{i < j} \left( \mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j \right) \times \mathbf{F}_{ij}. $$ Pero el vector $\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j$ puntos a lo largo de la línea desde la partícula $i$ a la partícula $j$ . Así que si hacemos nuestra tercera suposición anterior, que $\mathbf{F}_{ij}$ es paralela a esta línea, entonces toda esta suma desaparece y tenemos $d\mathbf{L} /dt = 0$ .

También es posible demostrar que a para un cuerpo rígido, existe una relación lineal entre la velocidad angular del objeto y su momento angular; así, si $\mathbf{L} \neq 0$ inicialmente para un cuerpo aislado, luego $\mathbf{L} \neq 0$ para siempre, y así $\pmb{\omega} \neq 0$ también para siempre.

Obsérvese que la hipótesis nº 3 es independiente de las leyes de Newton. Las Leyes de Newton no implican necesariamente la conservación del momento angular; hay que hacer una suposición adicional sobre las direcciones de las fuerzas entre dos partículas, y de hecho un Universo en el que el momento angular no se conserva es totalmente coherente con las Leyes de Newton. Una forma de conseguir esta suposición adicional es suponer que el Universo tiene simetría rotacional; en este caso, no hay ninguna "dirección preferida" entre dos partículas que no sea el eje entre ellas, y por tanto la fuerza entre ellas debe apuntar a lo largo de este eje. (También existe una profunda conexión entre la simetría rotacional y el momento angular a través de un maravilloso resultado matemático llamado Teorema de Noether que le recomiendo encarecidamente).

Answer 2

Edición: Escribí esta respuesta mientras Michael Seifert escribía la suya, así que perdonen el solapamiento.

"Cuando un objeto gira, cada partícula del objeto experimenta una aceleración continua. ¿No significa eso que se está aplicando alguna fuerza?"

Sí. Esa fuerza es aplicada por las partículas radialmente adyacentes.

"¿Por qué no se detiene entonces cuando no se aplica ninguna fuerza?".

"Se" detiene, si por "se" entiendes movimiento circular. Imaginemos que la partícula se desprende. Ahora "no hay fuerza aplicada", por lo que sale volando en línea recta tangente a su movimiento cuando se desprendió.

Por último, el momento angular se conserva porque la pérdida de momento angular del objeto que sigue girando (en virtud de la pérdida de una pequeña masa) se compensa con el momento angular de la partícula voladora, que es una suma de: el momento angular debido a su propia rotación (si sigue girando, lo que depende de las condiciones en las que se liberó); más el momento angular debido al producto de su momento lineal y la distancia perpendicular entre su línea de movimiento y el centro de masa del objeto que sigue girando.

Answer 3

La fuerza que se aplica se denomina fuerza centrípeta. Centrípeta significa "que busca el centro", porque ésa es la dirección de la fuerza: apuntar hacia el centro. Como la fuerza siempre apunta hacia el centro, siempre es perpendicular a la velocidad y, por tanto, cambia la dirección de la velocidad sin cambiar su magnitud (la velocidad). Como esta fuerza siempre gira con las partículas del objeto, siempre está cambiando la dirección del movimiento pero nunca la velocidad.