1 votos

El límite de una función recíproca es el recíproco de su límite

Sea $g$ sea continua en el intervalo $[a, b]$ y un $< c < b$ con $g_{(c)}<0$

Demostrar, utilizando la caracterización épsilon y delta de un límite, que $\lim\limits_{x \to {c}}\frac{1}{g{(x)}} = \frac{1}{g{(c)}}$ De ello se deduce que $\frac{1}{g}$ es continua en $c$

Sé que existe $g {(x}$ ) menor que $\frac{g {(c)}}{2} < 0$ y puedo utilizar esta información de alguna manera, pero aparte de eso no estoy seguro de cómo abordar esta cuestión. ¿Hay alguna ley especial que deba seguir?

1voto

Dr. MV Puntos 34555

Desde $g$ es continua en $[a,b]$ entonces para todo $\epsilon>0$ y para todos $c\in [a,b]$ existe un $\delta(\epsilon,c)>0$ tal que

$$|g(x)-g(c)|<\left(\frac{g^2(c)}{2}\right)\epsilon \tag 1$$

cuando sea, $|x-c|<\delta(\epsilon,c)$ .

Por lo tanto, si tomamos $\epsilon=\frac12|g(c)|$ vemos que $\frac32g(c)<g(x)<\frac12g(c)$ ya que $g(c)<0$ Siempre que $|x-c|<\delta(g(c),c)$ .

Por lo tanto, podemos escribir para todos $\epsilon>0$

$$\begin{align} \left|\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{g(c)}\right|&=\frac{|g(x)-g(c)|}{|g(x)|\,|g(c)|}\\\\ &\le\frac{|g(x)-g(c)|}{\frac12|g(c)|\,|g(c)|}\\\\ &<\epsilon \end{align}$$

siempre que $|x-c|<\min\left(\delta(\epsilon,c),\delta(g(c),c)\right)$

1voto

Mike Puntos 153

Como escribí en mi comentario, empecemos por lo que tenemos que demostrar: para todos los $\varepsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ tal que \begin{equation} \Bigg| \frac{1}{g(x)} - \frac{1}{g(c)} \Bigg| = \Bigg| \frac{g(c) -g(x)}{g(x) g(c)} \Bigg| = \frac{\lvert g(c) - g(x) \rvert}{ \lvert g(x) \rvert \lvert g(c) \rvert} < \varepsilon \end{equation} para todos $x \in [a,b]$ con $\lvert x - c \rvert < \delta$ .

Fijar $\varepsilon > 0$ . Por continuidad de $g$ existe un $\delta_1 >0 $ tal que \begin{equation} \lvert g(c) -g(x) \rvert < \frac{\lvert g(c) \rvert^2}{2} \varepsilon \end{equation} para todos $x \in [a,b]$ con $\lvert x-c \rvert < \delta_1$ . Además, puesto que $g(c) < 0$ encontramos un $\delta_2 > 0$ tal que \begin{equation} g(x) \leq \frac{g(c)}{2} < 0 \end{equation} para todos $x \in [a,b]$ con $\lvert x- c \rvert < \delta_2$ . Tenga en cuenta que $x$ , $\lvert g(x) \rvert \geq \frac{ \lvert g(c) \rvert}{2} $ .

Elijamos ahora un $\delta \in \big(0, \min \{ \delta_1, \delta_2 \} \big)$ . Entonces \begin{equation} \Bigg| \frac{1}{g(x)} - \frac{1}{g(c)} \Bigg| \leq \frac{2}{ \lvert g(c) \rvert^2} \lvert g(c) - g(x) \rvert < \varepsilon \end{equation} para todos $x \in [a,b]$ con $\lvert x-c \rvert < \delta$ .

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X