El límite de una función recíproca es el recíproco de su límite

Question

Sea $g$ sea continua en el intervalo $[a, b]$ y un $< c < b$ con $g_{(c)}<0$

Demostrar, utilizando la caracterización épsilon y delta de un límite, que $\lim\limits_{x \to {c}}\frac{1}{g{(x)}} = \frac{1}{g{(c)}}$ De ello se deduce que $\frac{1}{g}$ es continua en $c$

Sé que existe $g {(x}$ ) menor que $\frac{g {(c)}}{2} < 0$ y puedo utilizar esta información de alguna manera, pero aparte de eso no estoy seguro de cómo abordar esta cuestión. ¿Hay alguna ley especial que deba seguir?

Answer 1

Desde $g$ es continua en $[a,b]$ entonces para todo $\epsilon>0$ y para todos $c\in [a,b]$ existe un $\delta(\epsilon,c)>0$ tal que

$$|g(x)-g(c)|<\left(\frac{g^2(c)}{2}\right)\epsilon \tag 1$$

cuando sea, $|x-c|<\delta(\epsilon,c)$ .

Por lo tanto, si tomamos $\epsilon=\frac12|g(c)|$ vemos que $\frac32g(c)<g(x)<\frac12g(c)$ ya que $g(c)<0$ Siempre que $|x-c|<\delta(g(c),c)$ .

Por lo tanto, podemos escribir para todos $\epsilon>0$

$$\begin{align} \left|\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{g(c)}\right|&=\frac{|g(x)-g(c)|}{|g(x)|\,|g(c)|}\\\\ &\le\frac{|g(x)-g(c)|}{\frac12|g(c)|\,|g(c)|}\\\\ &<\epsilon \end{align}$$

siempre que $|x-c|<\min\left(\delta(\epsilon,c),\delta(g(c),c)\right)$

Answer 2

Como escribí en mi comentario, empecemos por lo que tenemos que demostrar: para todos los $\varepsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ tal que \begin{equation} \Bigg| \frac{1}{g(x)} - \frac{1}{g(c)} \Bigg| = \Bigg| \frac{g(c) -g(x)}{g(x) g(c)} \Bigg| = \frac{\lvert g(c) - g(x) \rvert}{ \lvert g(x) \rvert \lvert g(c) \rvert} < \varepsilon \end{equation} para todos $x \in [a,b]$ con $\lvert x - c \rvert < \delta$ .

Fijar $\varepsilon > 0$ . Por continuidad de $g$ existe un $\delta_1 >0 $ tal que \begin{equation} \lvert g(c) -g(x) \rvert < \frac{\lvert g(c) \rvert^2}{2} \varepsilon \end{equation} para todos $x \in [a,b]$ con $\lvert x-c \rvert < \delta_1$ . Además, puesto que $g(c) < 0$ encontramos un $\delta_2 > 0$ tal que \begin{equation} g(x) \leq \frac{g(c)}{2} < 0 \end{equation} para todos $x \in [a,b]$ con $\lvert x- c \rvert < \delta_2$ . Tenga en cuenta que $x$ , $\lvert g(x) \rvert \geq \frac{ \lvert g(c) \rvert}{2} $ .

Elijamos ahora un $\delta \in \big(0, \min \{ \delta_1, \delta_2 \} \big)$ . Entonces \begin{equation} \Bigg| \frac{1}{g(x)} - \frac{1}{g(c)} \Bigg| \leq \frac{2}{ \lvert g(c) \rvert^2} \lvert g(c) - g(x) \rvert < \varepsilon \end{equation} para todos $x \in [a,b]$ con $\lvert x-c \rvert < \delta$ .