Necesariamente un campo entre un campo y su extensión algebraica

Question

Este es un ejercicio que en algunos libros de texto.

Deje $E$ ser una extensión algebraica de $F$. Supongamos $R$ es el anillo que contiene a$F$, y está contenida en $E$. Demostrar que $R$ es un campo.

El problema es que realmente con la inversa de la de $r$ donde $r\in R$. Cómo probar que $r^{-1}\in R$, en la aparente falta de una caracterización de $R$.

Se me ocurrió utilizar el menor campo que contiene $R$ ($R$ es fácilmente demostrado ser una parte integral de dominio), que es el campo de cocientes, y demostrando que es $R$ sí, pero realmente no sé cómo proceder.

Muy débil, no muy fuerte sugerencia será muy apreciada.

Answer 1

Bien, usted sabe que $R$ está contenida en una extensión algebraica de $F$, por lo que debe utilizar de alguna manera. Esto implica directamente que no es un polinomio (de grado mínimo, por ejemplo) con coeficientes en $F$ que aniquila $x$. Puede usted fabricar un inverso para $r$ el uso de este polinomio?

Answer 2

SUGERENCIA $\ $ Leer una inversa de a $\rm\:r \ne 0\:$ de un mínimo de un polinomio $\rm\:f(x)\in F[x]\:$ $\rm\:r\:$ $\rm\:F\:.$

Nota: este es un caso especial de usar el algoritmo de Euclides para calcular inversas a través de la identidad de Bezout, viz. $\rm\: (x,f(x)) = 1\ \Rightarrow\ a(x)\ x + b(x)\ f(x) = 1\ $ $\rm\: a(r)\ r = 1\ $ evaluando en $\rm\:x = r\:.\:$ Esta es una generalización de la racionalización de denominadores en los de bajo grado de las extensiones, es decir, uno puede calcular una inversa de a $\rm\:r\:$ por "racionalizar" (a $\rm\:F\:$) el denominador de $\rm\:1/r\:$ (que también se puede hacer uso de las normas, como resultado, etc).