Acoplamiento de la acción de Hilbert a una acción de materia

Question

Al acoplar una acción de materia a la acción de Hilbert en relatividad general, ¿por qué simplemente se suman las dos acciones y no se añade una acción de acoplamiento? En electromagnetismo, se necesita un término de acoplamiento entre la acción de la materia y la acción del campo, así que no estoy seguro de por qué no se necesita tal término en relatividad general. Por ejemplo, digamos que quiero escribir la acción para dos cargas que interactúan en teoría puramente electromagnética. Entonces puedo escribir la acción del campo acoplado a dos cargas puntuales junto con la acción de la materia que describe cómo interactúan las cargas con el campo. Entonces, para hacer lo mismo en relatividad general, creo que sólo necesitaría añadir una acción de materia que diera el tensor de momento de energía correcto a la acción de Hilbert, pero sin término de acoplamiento.

Answer 1

¿por qué simplemente se añaden las dos acciones y no se añade una acción de acoplamiento?

Un hace añadir la acción de acoplamiento. Cuando sustituimos las derivadas parciales que están presentes en la acción de la materia en el espaciotiempo plano en coordenadas cartesianas por derivadas covariantes e integramos utilizando la forma de volumen del espaciotiempo curvo (este enfoque se denomina acoplamiento mínimo ), ésta es precisamente la introducción del acoplamiento.

Esto se ve más fácilmente si consideramos la variación de la acción de la materia con una ligera variación de la métrica: $g_{}=g^{(0)}_{}+g_{}$ que tiene la forma: $$\delta S_\text{matter}=\frac 12 \int T^{} g_{} \sqrt{-g}\,d^4x,$$ donde $T_{}$ es el tensor tensión-energía. Si consideramos un espaciotiempo de fondo con métrica de Minkowski $g^{(0)}_{}=\eta_{}$ entonces esta variación de la acción de la materia tiene la interpretación de acción de acoplamiento para un "campo" $g_{}$ con la materia a través de la "corriente" $T^{}$ .

A nivel de la teoría de perturbaciones, esto es totalmente análogo a la acción de acoplamiento del electromagnetismo: $$S_\text{int}= - \int j^ A_ \sqrt{-g}\,d^4x.$$ Pero fuera de los campos gravitatorios débiles debemos considerar que la RG es una teoría no lineal, y la separación de las fuentes y los campos creados por ellas generalmente no es posible.

Yendo en dirección contraria, podríamos "ocultar" la acción de acoplamiento del electromagnetismo introduciendo derivada covariante gauge para campos de materia cargada: $$\partial_ \to D_ = \partial_ -i e A_.$$ Sustituyendo todas las derivadas en términos cinéticos por derivadas covariantes gauge, la acción para la materia cargada contendría ahora un término de interacción.

En general, se debería considerar la invariancia gauge de la teoría electromagnética y la invariancia difeomorfismo de la RG no como una mera redundancia en la descripción, sino como un mecanismo incorporado para introducir acoplamientos entre la materia y los campos EM o gravitatorio.

Por ejemplo, digamos que quiero escribir la acción para dos cargas interactuantes en teoría puramente electromagnética. Entonces puedo escribir la acción de campo acoplada a dos cargas puntuales junto con la acción de materia que describe cómo interactúan las cargas con el campo. Entonces, para hacer lo mismo en relatividad general, creo que sólo necesitaría añadir una acción de materia que diera el tensor de momento de energía correcto a la acción de Hilbert, pero sin término de acoplamiento.

En la RG, la noción de partícula puntual es internamente incoherente: si intentamos meter una masa finita en un volumen suficientemente pequeño, esta masa se convierte en un agujero negro, de modo que, aunque ciertamente es posible escribir ecuaciones de movimiento para partículas puntuales de prueba, la consideración de los campos que están creando requiere algún tipo de esquema de aproximación.

Así que expandiendo la acción dentro de la teoría de perturbaciones la parte donde aparece el tensor tensión-energía sería precisamente el término de acoplamiento.