Problema sobre adjuntos de Operadores Lineales.

Question

¿Podría ayudarme a comprobar mi solución a la pregunta-

Supongamos que $T\in L(V)$ y $U$ es un subespacio de $V$ demuestre que $U$ es invariante bajo $T$ si $U^\perp$ es invariante bajo $T^*$ .

Solución: Sea $U$ sea invariante bajo $T$ y $z$ sea un vector en $U^\perp$ entonces $T(x)= y$ , $x \in U, y\in U,$ ahora $$ \langle T(x),z\rangle =0 =\langle x, T^*(z)\rangle $$ I.e $\langle x, T^*(z)\rangle=0,$ ahora x no es cero, entonces hay dos posibilidades, 1) $T^*(z)=0$ , 2) $T^*(z) \in U^\perp$ . 1) se cumplirá si $\langle x, T^*(z)\rangle =0$ para todos $x\in V$ desde $\langle x, 0\rangle=0$ para todos $x \in V$ pero si $x \in U^\perp$ entonces $\langle x, T^*(z) \rangle \neq 0$ por lo que 1) no puede ser verdad y por lo tanto 2) tiene que ser verdad y por lo tanto $U^\perp$ es invariante bajo $T^*$ .

Answer 1

Realmente no puedo seguir su solución propuesta, le sugiero que lo haga en puntos, pero así es como yo probaría esto

• suponga que $U$ no es invariante bajo $T$ entonces
• para cada vector $v$ en $U$ , $Tv = u + u^\perp $ donde $u \in U, u^\perp \in U^\perp $
• deje $T^{\dagger}$ sea el operador adjunto de $T$ entonces
  • $T^{\dagger}Tv = T^{\dagger}u + T^{\dagger}u^\perp\\ v = T^{\dagger}u + T^{\dagger}u^\perp$
  • desde $U^\perp$ es inveriant bajo $T$ obtenemos
    • $T^\dagger u$ tiene que ser un vector en $U$ porque ningún vector de $U^\perp$ corresponde a un vector en $U$ .
    • existe un vector $u' \in U^\perp$ tal que $u' = T^\dagger u^\perp$
• de este $v$ tiene que tener un componente en $U^\perp$ que es una contradicción