¿Mostrar la invertibilidad cuando no se ha completado el rango de columnas?

Question

Dada una $2\times 3$ matriz $A$ ¿cómo podemos demostrar que $A^TA$ ¿no es invertible? (donde $A^T$ es $A$ transponer).

Pista: Hay más columnas que filas, por lo que la tercera columna debe ser linealmente dependiente.

Intenté configurarlo usando valores aleatorios (no puedo usar números), así que dejé:

$A=\begin{bmatrix}a & b & c \\ d & e & f\end{bmatrix}$

Puesta en marcha $A^T A$ dame un $3\times 2$ matriz por a $2\times 3$ dándome un $3\times 3$ .

Intenté resolver esto multiplicando hacia fuera usando estos términos generales, y consigo términos cuadrados abajo del diagnoal en un $3\times 3$ matriz, sin embargo no estoy seguro de mostrar cómo no es invertible?

Answer 1

Pista: Si reducimos por filas $A$ habrá una variable libre. Por lo tanto, habrá un vector distinto de cero $x$ tal que $Ax = 0$ .

Pista: Por el teorema de nulidad de rango, la nulidad de $A$ es como mínimo $1$ por lo que existe un $x$ como arriba.

En cualquier caso, $(A^TA)x = A^T(Ax)$ .