¿Qué heurística sugiere para el número de soluciones de $x^n+y^n=A$ ?

Question

Para números enteros $x,y,n,A$ con $n>1$ y $A>0$ nos interesa cuántas soluciones $x^n+y^n=A$ tiene para fijo $n$ e infinitas $A$ .

Lo que se sabe incondicionalmente $n=2$ o $n=3$ el número de soluciones es ilimitado. Tome muchas racional soluciones para $x^n+y^n=A_0$ con la ley de grupos. Escala a enteros multiplicando por el lcm de los denominadores.

Q1 para $n=3$ sin utilizar la ley de grupo, ¿existen argumentos para la ilimitación de las soluciones?

Q2 Para $n=3$ , sin utilizar la ley de grupo, podemos encontrar muchos, digamos 100 soluciones? Esto está relacionado con el rango de la curva elíptica.

Para $n>4$ se conjetura que hasta el automorfismo no hay soluciones para $x_1^n+y_1^n=x_2^n+y_2^n=A$ .

P3 ¿Existen argumentos a favor de la conjetura anterior?

Answer 1

(1) No necesitas la ley de grupos completa, por supuesto. Empieza con una solución racional de $x^3+y^3=A_0$ utilizar la recta tangente para encontrar una nueva solución, utilizar la recta tangente a esa solución para encontrar otra solución, etc. (Creo que esta idea puede deberse a Bachet en la década de 1600. En cualquier caso, es álgebra simple). Luego despejar denominadores. Pero, ¿quizás estás pidiendo un argumento que no utilice geometría analítica?

(2) Una pregunta mucho más interesante, creo, es si se puede encontrar $A$ que tiene un gran número de soluciones enteras que satisfacen $\gcd(x,y)=1$ . Eso es lo que realmente está relacionado con el rango, en el sentido de que hay una desigualdad probada $$ \#\{(x,y)\in\mathbb Z^2 : x^3+y^3=A,\;\gcd(x,y)=1\} \le C^{1+\text{rank }E_A(\mathbb Q)}, $$ donde la constante $C$ es una constante absoluta, y donde $E_A$ es la curva elíptica $x^3+y^3=A$ .

Answer 2

Existe una heurística, que no utiliza la ley de grupos, según la cual debería haber infinitas soluciones de números enteros relativamente primos para $x^3 +y^3 = A z^3$ y, por tanto, la ilimitación multiplicando $A$ por el cubo del lcm del $z$ s.

El principal problema de esta heurística es que predice infinitas triplas $(x,y,z)$ para todos $A$ pero sabemos que hay infinitud sólo para algunos $A$ .

Se trata de una heurística muy simple basada en la aleatoriedad. Si restringimos la atención a $x,y,z$ con $2^n <\max (|x|,|y|,|z|) < 2^{n+1}$ hay alrededor de $ C \cdot 2^{3n}$ triples relativamente primos en ese rango, y entonces si imaginamos que cada uno tiene una probabilidad de al menos $1 / (2 \cdot (2 + A) \cdot (2^{n+1})^3)$ de ser una solución, el número total de soluciones en ese rango debería ser de aproximadamente $C/ (2^4 \cdot (2+A))$ .

Suma de todos $n$ obtenemos $\infty$ .

Esta heurística, con una modificación para factores locales, es la utilizada por Heath-Brown para estudiar sumas de tres cubos y otros cúbicos no homogéneos, donde no hay ley de grupo. Así que, si te molesta el hecho de que esta heurística parece predecir la respuesta incorrecta, pedir una heurística que evite la ley de grupo puede ser un poco complicado, porque la ley de grupo es exactamente la razón por la que fallan las heurísticas simples.

Se puede utilizar este tipo de heurística para comprobar que $x^n + y^n = z^n+w^n$ debería tener muy pocas soluciones, y las soluciones serán menos probables a medida que $|x|,|y|,|z|,|w|$ crecer o $n$ crece. Esto, combinado con una comprobación informática de que no hay soluciones pequeñas, es presumiblemente una gran parte de la razón por la que algunos han conjeturado que no hay soluciones no triviales allí.

Answer 3

Creo que la conjetura de que para $n \geq 5$ y para todos los números enteros $k \geq 1$ ,

$$\displaystyle x^n + y^n = k$$

tiene como máximo dos soluciones enteras positivas es mucho más antigua, pero una heurística moderna procede de la conjetura Bombieri-Lang. De hecho, creo que se sabe cómo encontrar todas las curvas de grado pequeño en una superficie de Fermat $x^n + y^n = u^n + v^n$ para $n$ suficientemente grande (aunque no estoy seguro de si $n$ puede ser tan bajo como $5$ ); véase, por ejemplo, este artículo de Browning y Heath-Brown . En cualquier caso se sabe que cualquier superficie algebraica lisa de grado $n$ contiene $O_n(1)$ curvas de grado máximo $n-2$ se trata de un resultado de Colliot-Thelene (véase el apéndice de este documento ). Se espera entonces, dado Bombieri-Lang, que estas curvas de bajo grado contengan todos los puntos racionales. Además, utilizando técnicas explícitas disponibles para las superficies de Fermat, podemos comprobar que ninguna de estas curvas, excepto las líneas obvias, es racional. Esto nos da la heurística de que todas las soluciones de $x^n + y^n = u^n + v^n$ es decir, soluciones repetidas a $x^n + y^n = A$ para cualquier número entero $A$ están representados por las líneas. Heath-Brown muestra en el artículo enlazado más arriba que tales líneas corresponden a automorfismos de la forma binaria $x^n + y^n$ lo que da lugar a la conjetura.

Por supuesto, no sabemos cómo demostrar Bombieri-Lang en este caso (o realmente en cualquier caso más allá de las subvariedades de variedades abelianas, que yo sepa), así que esto sigue siendo meramente una heurística.