Encuentra triples (a,b,c) tales que $f(n)f(n+1)=f(m)$ donde $f(x)=ax^2+bx+c$

Question

Encontrar todos los triples de números enteros $(a,b,c)$ con $a\neq0$ tal que la función $f(x)=ax^2+bx+c$ tiene la propiedad de que, para cada entero positivo $n$ existe un número entero $m$ con $$f(n)f(n+1)=f(m).$$

Intento: Escribir $\,\,f(x)=a(x+\alpha)(x+\beta)$ obtenemos $$f(n)f(n+1)=a^2\left(z+\alpha)(z+\beta\right)$$ donde $z=n^2+n\left(1+\frac{b}{a}\right)+\frac{c}{a}$ . Por lo tanto, todos los triples $(1,b,c)$ trabajo. ¿Son los únicos?

EDITAR. Soy capaz de mostrar si $a=m^2, a\neq 1$ entonces los triples son exactamente $(m^2,2mn,n^2)$ donde $m$ divide $n(n-1)$ . Así que ahora la pregunta es si $a$ debe ser un cuadrado perfecto.

P.D. Este es el problema 11964 de Sección de problemas de la MOA (marzo de 2017) cuyo plazo de presentación de soluciones ha finalizado.

Answer 1

Negativo $a$ no funcionará: Hace $f(m)$ limitada por arriba mientras que $f(n)f(n+1)$ no lo es.

Tu argumento es correcto al demostrar que todas las triplas con $a=1$ trabajo.

Variamos el problema exigiendo la propiedad deseada sólo para todo lo suficientemente grande $n$ . Entonces $(a,b,c)$ tiene la propiedad si y sólo si $(a,b\pm 2a,a\pm b+c)$ lo tiene. Así pues, podemos suponer wlog que $|b|\le a$ (equivalentemente, $f$ tiene su mínimo en $[-\frac12,\frac12]$ ).

Caso 1: Supongamos que $b=0$ . Ahora la ecuación es $$ a^2n^4+2a^2n^3+a(a+c)n^2+2acn+(a+c)c = am^2+c.$$ Así que $m^2 = an^4+O(n^3)$ Por lo tanto $m=\pm n^2\sqrt a+O(n)$ . En $m=n^2\sqrt a+u n$ , $$ a^2n^4+2a^2n^3+a(a+c)n^2+2acn+(a+c)c= a^2n^4+2au\sqrt an^3+u^2an^2+c,$$ o, $$ 2a\sqrt a(\sqrt a-u)= (u^2-a-c)an^{-1}-2acn^{-2}+(1-a-c)cn^{-3}$$ En $u$ está acotada, concluimos que $u=\sqrt a+O(n^{-1})$ . Esto hace que $m=n^2\sqrt a+n\sqrt a+v$ con $v=O(1)$ . Ahora llegamos a $$a(c-2v\sqrt a) = 2a(\sqrt a v-c) n^{-1} +v^2a+(1-a-c)cn^{-2}$$ y de esto $v=\frac c{\sqrt a}+O(n^{-1})$ , $$m=\sqrt a\cdot(n^2+n+\tfrac ca)+O(n^{-1}).$$

Caso 1.1: Si $a$ es un cuadrado perfecto, esto implica que $c$ es múltiplo de $\sqrt a$ y podemos escribir $a=d^2$ , $c=kd$ entonces para $n$ suficientemente grande, tenemos $m=dn^2+dn+k$ y luego $f(n)f(n+1)=f(m)$ conduce a $kd^3-kd$ es decir, $k=0$ o $a=1$ es decir, las soluciones encontradas por el OP y en los comentarios.

Caso 1.2: Si $a$ no es un cuadrado perfecto ...

Caso 2: Si $b\ne 0$ , ...