¿Puede reforzarse la desigualdad de Hölder para funciones suaves?

Question

¿Existe una $\epsilon>0$ de modo que para toda función integrable no negativa $f$ en los reales,

$$\frac{\| f \ast f \|_\infty \| f \ast f \|_1}{\|f \ast f \|_2^2} > 1+\epsilon?$$

Por supuesto, queremos suponer que todas las normas en uso son finitas y distintas de cero, y $f\ast f(c)$ es la función convolucionada habitual $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)f(c-x)dx$ . Las aplicaciones que tengo en mente tienen $f$ siendo la función indicadora de un conjunto compacto.

A continuación se expone un marco más amplio para considerar este problema. Establezca $N_f(x):=\log(\| f \|_{1/x})$ . La desigualdad de Hölder, normalmente expresada como $$\| fg \|_1 \leq \|f\|_p \|g\|_q$$ para $p,q$ exponentes conjugados, se convierte (con $f=g$ ) $N_f(1/2+x)+N_f(1/2-x)\geq 2N_f(1/2)$ . En otras palabras, la desigualdad de Hölder implica que $N_f$ es convexa en $x=1/2$ . La desigualdad de Hölder generalizada da convexidad en $[0,1]$ .

Es posible que $N_f$ sea lineal, pero sólo si $f$ es un múltiplo de una función indicadora. Lo que pido es una expresión cuantitativa de la propiedad de la convexidad cuando $f$ es una autoconvolución.

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Ejemplos: El cociente de normas es invariante al sustituir $f(x)$ con $a f(cx-d)$ siempre que $a>0$ y $a,c,d$ son reales. Esto significa que si $f$ es el intervalo de una función indicadora, podemos suponer sin pérdida de generalidad que es la función indicadora de $(-1/2,1/2)$ . Ahora, $f\ast f(x)$ es la función lineal a trozos con nudos en $(-1,0),(0,1),(1,0)$ . Por lo tanto, $\|f\ast f\|_\infty=1$ , $\|f \ast f\|_1 = 1$ , $\|f \ast f \|_2^2 = 2/3$ y la relación de normas es $3/2$ .

Las densidades gaussianas son otro buen ejemplo porque la convolución es fácil de expresar. Si $f(x)=\exp(-x^2/2)/\sqrt{2\pi}$ entonces $f\ast f(x) = \exp(-x^2/4)/\sqrt{4\pi}$ y así $\|f\ast f\|_\infty = 1/\sqrt{4\pi}$ , $\|f\ast f\|_1=1$ y $\|f \ast f\|_2^2=1/\sqrt{8\pi}$ . La relación en cuestión es entonces $\sqrt{2}$ .

Este problema fue considerado (sin resultado) por Greg Martin y por mí en una serie de artículos sobre los conjuntos de Sidon generalizados. Encontramos este "bonito" ejemplo: $f(x)=1/\sqrt{2x}$ si $0 < x < 1/2$ , $f(x)=0$ de lo contrario. Entonces $f\ast f(x) = \pi/2$ para $0 < x < 1/2$ y $f\ast f(x) = (\pi-4\arctan(\sqrt{2x-1}))/2$ para $1/2 < x < 1$ y $f\ast f$ es 0 para $x$ fuera de $(0,1)$ . Obtenemos $\|f \ast f\|_\infty = \pi/2$ , $\|f \ast f\|_1 = 1$ , $\|f \ast f \|_2^2 = \log 4$ por lo que la relación de la norma es $\pi/\log(16) \approx 1.133$ .

En este documento , Vinuesa y Matolcsi mencionan algunos cálculos de prueba de concepto que demuestran que $\pi/\log(16)$ no es extremo.

Answer 1

Algunas reflexiones iniciales:

• la pregunta es básicamente si $f*f$ puede aproximarse a un múltiplo constante $c1_E$ de una función indicadora (son las únicas funciones no negativas para las que Holder es agudo).
• la hipótesis de que $f$ es no negativo va a ser crucial. Obsérvese que cualquier función de Schwartz puede expresarse como $f*f$ para alguna f de valor complejo mediante la raíz cuadrada de la transformada de Fourier, y por tanto aproximando una función indicadora por una función de Schwartz vemos que no hay ganancia.
• Por otra parte, la hipótesis de que $f$ es una función indicadora (o un múltiplo constante de la misma) sólo tiene una utilidad limitada, porque cualquier función no negativa en $L^1$ puede expresarse como el límite débil de múltiplos constantes de funciones indicadoras (de forma similar a como puede representarse una imagen en escala de grises utilizando píxeles blancos y negros en la proporción adecuada; el indicador es de una unión aleatoria de pequeños intervalos cuya intensidad es proporcional a $f$ ).
• Si $f*f$ está cerca de $c1_E$ y normalizamos $c=1$ y $|E|=1$ entonces $f$ tiene $L^1$ norma próxima a $1$ y la transformada de Fourier tiene $L^4$ norma próxima a $1$ (es decir, los Gowers $U^2$ se aproxima a $1$ ). Utilizando el teorema del idempotente cuantitativo de Green y Sanders también vemos que el $L^2$ norma de $f$ (que controla la norma de Wiener de $f*f$ ) es mucho mayor que $1$ . Pero no tengo claro qué hacer a partir de ahora.

Answer 2

Me recuerda un poco a 2ª conjetura de Talagrand sobre los 1000 dólares uno de cuyos casos especiales es el siguiente:

Sea $f$ sea una función no negativa sobre los reales y sea $g = U_t f$ donde $U_t$ es el semigrupo de Ornstein-Uhlenbeck y $t$ es algún número fijo positivo; digamos, $t = 1$ . Entonces la desigualdad de Markov no es estricta para $g$ es decir, $\Pr[g > c \mathrm{E}[g]] = o(c)$ donde la probabilidad es con respecto a la distribución gaussiana.

Estoy bastante seguro de que este caso especial es lo suficientemente difícil como para que Talagrand te diera una fracción de los 1000 dólares por él.

Answer 3

No es una respuesta, sino un comentario extenso.

Considere el siguiente problema.

Dado un conjunto de números enteros $A\subset [1,N]$ denotemos por $\nu(n)$ el número de representaciones de $n$ como suma de dos elementos de $A$ . Así, $\nu=1_A\ast1_A$ hasta la normalización, y, trivialmente, tenemos $$ \sum_n \nu^2(n) \le |A|^2 \max_n \nu(n). $$ ¿Existe una constante absoluta $\varepsilon>0$ tal que si $$ \sum_n \nu^2(n) > (1-\varepsilon) |A|^2 \max_n\nu(n), $$ entonces $\alpha:=|A|/N\to 0$ como $N\to\infty$ ? (El sabor de esta pregunta para mí es el siguiente: queremos sacar una conclusión sobre un conjunto finito, dado que su ``energía aditiva'' es grande -- pero no tan grande como en Balog-Szemeredi-Gowers).

¿Cuál es la relación entre esto y el problema original? Aunque no puedo establecer formalmente la equivalencia en ambos sentidos, entiendo que los dos problemas son ``esencialmente equivalentes''; al menos, si en el problema original nos limitamos a funciones indicadoras de conjuntos abiertos.