¿Es esta función Lipschitz?

Question

Sea $f:X \rightarrow \mathbb R$ una función Lipschitz en un espacio métrico $X$ y $K

¿Es tal función $g:X\rightarrow \mathbb R$ Lipschitz: $$ g(x)=f(x) \textrm{ si } \ K \leq f(x) \leq M, $$ $$ g(x)=K \textrm { si } \ f(x)M. $$

Gracias

Answer 1

Supongamos que $f_\alpha$ son Lipschitz con rango $L$. Sea $\psi(x) = \sup_\alpha f_\alpha(x)$, y supongamos que $\psi(x)$ es finita para todo $x$. Entonces $\psi$ también es Lipschitz. Para ver esto, nota que $f_\alpha(x) \leq f_\alpha(y) + L \|x-y\|$ para todo $\alpha$. Esto nos da $\psi(x) = \sup_\alpha f_\alpha(x) \leq \sup_\alpha (f_\alpha(y) + L \|x-y\|) = \sup_\alpha f_\alpha(y) + L \|x-y\| = \psi(y)+ L \|x-y\|$. Por lo tanto, $\psi(x)-\psi(y) \leq L \|x-y\|$. Intercambiando los roles de $x,y$ obtenemos $|\psi(x)-\psi(y)| \leq L \|x-y\|$.

Un argumento similar muestra que $\eta(x) = \inf_\alpha f_\alpha(x)$ es Lipschitz (asumiendo finitud, como antes).

Se sigue que la función $x \mapsto \max (f(x), K)$ es Lipschitz (ya que una constante es Lipschitz), y por lo tanto se sigue que la función $x \mapsto \min(\max (f(x), K), M)$ es Lipschitz. Dado que $g(x) = \min(\max (f(x), K), M)$, tenemos el resultado deseado.

Answer 2

Puedes escribir tu función como $\min(\max(f(x), K), M)$. Ten en cuenta que la composición de funciones de Lipschitz es Lipschitz. Solo tienes que demostrar que las funciones $\min(x,K)$ y $\max(x,M)$ son Lipschitz en ${\mathbb R}$, lo cual no es difícil.

Answer 3

Tenemos $g(x)=\min\{\max\{f(x),K\},M\}$. Ahora, solo tenemos que demostrar que si $|f(x)-f(y)|\leq C|x-y|$, $|\max\{f(x),K\}-\max\{f(y),K\}|\leq C|x-y|$, lo cual puede demostrarse utilizando la fórmula $2\max\{a,b\}=a+b+|a-b|$ y la desigualdad triangular.

Por cierto, la constante de Lipschitz es la misma.