¿Existe un cálculo diferencial adecuado para los cojets?

Question

Entiendo los fundamentos de la geometría diferencial exterior y cómo hacer cálculos con formas diferenciales exteriores. Sé cómo utilizar esto para justificar la notación d y /d x como cociente literal de los diferenciales d y y d x (tratando x y y como funciones escalares-valoradas en una variedad unidimensional e introduciendo la división formalmente). Me gustaría ampliar esto a segundo derivados. Idealmente, esto justificaría la notación d 2 y /d x 2 como una proporción literal.

No puedo hacer esto con el diferencial exterior, ya que tanto d 2 y y d x  ∧ d x son cero en el cálculo exterior. Se me ocurre que esto funcionaría si, en lugar de formas diferenciales exteriores (secciones del haz exterior), utilizara secciones del haz cojet (formas diferenciales cojet). En particular, mientras que las formas exteriores de grado 2 pueden escribirse en coordenadas locales como combinaciones lineales de d x i  ∧ d x j para i  < j (por lo que en una variedad unidimensional la única forma 2 exterior es cero), las formas cojet de grado 2 pueden escribirse en coordenadas locales como combinaciones lineales de d 2 x y d x i  - d x j para i  ≤ j (de modo que en una variedad unidimensional las 2 formas cojet en un punto dado forman un espacio bidimensional).

Conozco algunos sitios para leer sobre cojets (y más sobre chorros) teóricamente, pero no sé dónde aprender sobre cálculos prácticos en un cálculo de cojets análogo al cálculo exterior. En particular, no conozco ninguna referencia que introduzca el concepto del operador diferencial de grado 2 d 2 y mucho menos uno que dé y demuestre sus propiedades básicas. Incluso he tenido que inventar la notación 'd 2 ' (aunque ya ves de dónde lo he sacado) y el término 'forma diferencial cojet'. Puedo resolver algunas cosas por mí mismo, pero prefiero tener la confianza de ver lo que otros han hecho y sometido a revisión por pares.

(Por cierto, no creo que sea muy posible justificar d 2 y /d x 2 la fórmula correcta es d 2 y /d x 2  - (d y /d x )(d 2 x /d x 2 ); no podemos dejar que d 2 x /d x 2 desaparecen y conservan la simplicidad de las reglas algebraicas. Sería mejor escribir ∂ 2 y /∂ x 2 ; la cuestión es que éste es el coeficiente de d x 2 en una expansión de d 2 y , al igual que ∂y/∂x i es el coeficiente de d y en x i cuando y es una función en un espacio de dimensión superior. El coeficiente de d 2 y en d 2 x , que sería ∂ 2 y /∂ 2 x es simplemente d y /d x otra vez).

Answer 1

Quizá los siguientes enlaces le ayuden: Gerd Kainz, Peter W. Michor: Transformaciones naturales en geometría diferencial. Czechoslovak Math. J. 37 (1987), 584-607, accesible como documento escaneado en: http://www.mat.univie.ac.at/~michor/nat-transf.pdf . Una versión algo más ampliada se encuentra en el capítulo 8 de: Ivan Kolár, Jan Slovák, Peter W. Michor: Operaciones naturales en geometría diferencial. Springer-Verlag, Berlín, Heidelberg, Nueva York, (1993), vi+434 pp. accesible a través de http://www.mat.univie.ac.at/~michor/kmsbookh.pdf

Answer 2

Por lo que veo, tu ejemplo de cálculo en los comentarios es un cálculo en el anillo de Hasse-Schmidt de un álgebra polinómica. Dado un anillo conmutativo $A$ y $A$ -algebras $f:A \to B$ y $A \to R$ una orden $k$ Diferencial Hasse-Schmidt de $B$ a $R$ es un $k+1$ -tupla $(D_0,\ldots,D_k)$ de $A$ -mapas de módulos de $B$ a $R$ satisfactoria:

1. $D_i(f(a)) = 0$ para todos $i \geq 1$ y todos $a \in A$ .
2. $D_i(b_1 \cdot b_2) = \sum_{j=0}^i D_j(b_1) D_{i-j}(b_2)$ .

Escribimos $Der^k_A(B,R)$ para el conjunto de orden $k$ diferenciales de $B$ a $R$ . Existe un álgebra de Hasse-Schmidt $HS^k_{B/A}$ con universal $k$ -que representa el functor $Der^k_A(B,-)$ y su espectro relativo sobre $\operatorname{Spec} B$ es el valor relativo $k$ espacio de chorro de $B/A$ . Por ejemplo, $HS^0_{B/A} = B$ y $HS^1_{B/A} = Sym_B^*(\Omega_{B/A})$ da como resultado el haz tangente. Puede encontrar esta información en la obra de Vojta Exposición estilo EGA .

Concretamente, éste es su ejemplo: Sea $A$ sea un anillo como $\mathbb{R}$ y que $B = A[x]$ . No es difícil demostrar que $HS^k_{B/A} \cong B[x^{(1)},x^{(2)},\ldots,x^{(k)}]$ con mapas canónicos $y \mapsto y^{(i)}$ . En términos de diferenciales ordinarias, tenemos $x^{(i)} = \frac{1}{i!}d^ix$ y, en particular, si escribiéramos la regla de Leibniz superior con diferenciales, necesitaríamos unas $\binom{i}{j}$ factores. En cualquier caso, el uso repetido de la relación de Leibniz da como resultado $d^2(x^3-3x) = (3x^2-3)d^2x + 6x(dx)^2$ .

Si se quiere diferenciar algo dos veces, se utiliza el hecho de que para cualquier $y$ , $dy$ es igual a $d^0 y' dx$ para algunos $y' \in B$ y aplicar la regla del cociente: $d\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{dx\cdot d^2 y - dy \cdot d^2 x}{(dx)^2}$ . En particular, encontrará que $d\left(\frac{dy}{dx}\right)/dx \neq \frac{d^2 y}{(dx)^2}$ porque $\frac{d^2x}{(dx)^2} \neq 0$ en este anillo. Si realmente quieres la notación algo engañosa $\frac{d^ky}{dx^k}$ para denotar literalmente un $k$ derivada, hay que modular por el ideal generado por $d^ix$ para $i \geq 2$ .