5-tuplas pitagóricas

Question

¿Cuál es la solución de la ecuación $x^2+y^2+z^2+t^2=w^2$ en polinomios sobre C ("5-tuplas pitagóricas")?

Existen fórmulas sencillas que describen las n-tuplas pitagóricas para n=3,4,6:

• n=3. La fórmula para las soluciones de $x^2+y^2=z^2$ [4]:

$x=d(p^2q^2)$ ,

$y=2dpq$ ,

$z=d(p^2+q^2),$

donde p,q,d son polinomios arbitrarios.

• n=4. Análogamente, todas las cuádruples pitagóricas de polinomios vienen dadas por la identidad [4, Teorema 2.2], [3, Teorema 7.1]:

$(p^2+q^2-r^2-s^2)^2+(2pr+2qs)^2+(2ps-2qr)^2=(p^2+q^2+r^2+s^2)^2$

• n=6. La siguiente identidad produce 6-tuplas pitagóricas [3, Teorema 7.2]:

$(m^2-n^2)^2+(2mn)^2+(2(n_0m_1-m_1n_0+m_3n_2-m_2n_3))^2+$

$(2(n_0m_2-m_2n_0+m_1n_3-m_3n_1))^2+$

$(2(n_0m_3-m_3n_0+m_2n_1-m_1n_2))^2=(m^2+n^2)^2$

donde $m=(m_1,m_2,m_3,m_4)$ , $n=(n_1,n_2,n_3,n_4)$ y $mn$ es el producto escalar habitual.

Estas identidades están relacionadas de algún modo con sl(2,R), sl(2,C), sl(2,H), pero falta el caso n=5 en esta descripción [3, Teoremas 7.1 y 7.2].

Las fórmulas anteriores describen también n-tuplas pitagóricas de números enteros . Hay otras descripciones de ellas; véanse [2] y [5, Capítulo 5] para n<10, [6] para n<15, [1, Teorema 1 en el Capítulo 3] para n arbitrario, y también las respuestas a continuación.

Hay razones para creer que las 5-tuplas pitagóricas no pueden describirse mediante una única identidad polinómica. Por lo tanto, las identidades que producen un "gran" conjunto de soluciones también son de interés, como por ejemplo $(-p^2+q^2+r^2+s^2)^2+(2pq)^2+(2pr)^2+(2ps)^2=(p^2+q^2+r^2+s^2)^2$

Esta identidad no da todas las soluciones porque sólo produce polinomios reducibles y,z,t (una vez que p,q,r,s son no constantes). También son interesantes los ejemplos de soluciones que no se pueden obtener con los planteamientos de las respuestas siguientes.

Dada una solución (x,y,z,t,w), también son interesantes los métodos para construir una nueva solución (x',y',z',t',w'). Por ejemplo,

$x'=w+y+z$ ,

$y'=w+z+x$ ,

$z'=w+x+y$ ,

$t'=t$ ,

$w'=2w+x+y+z$

[véase la respuesta de Ken Fan más abajo para generalizaciones a otros n] o

$x'+iy'+jz'+kt'=q(x+iy+jz+kt)q$ ,

donde $q$ es un polinomio arbitrario con coeficientes cuaterniónicos [véase la respuesta de Geoff Robinson más abajo].

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[1] L.J. Mordell, Diophantine Equations, Academic Press, Londres, 1969.

[2] D. Cass, P.J. Arpaia, MATRIX GENERATION OF PYTHAGOREAN n-TUPLES, Proc. AMS 109:1 (1990), 1-7

[3] J. Kocik, Clifford Algebras and Euclid's Parametrization of Pythagorean Triples, Adv. Appl. Clifford Alg. 17:1 (2007), 71-93

[4] R. Dietz, J. Hoschek y B. Juttler, An algebraic approach to curves and surfaces on the sphere and on other quadrics, Computer Aided Geom. Design 10 (1993) 211-229

[5] V. Kac, Infinite-Dimensional Lie Algebras (3a edn. ed.), CUP, 1990

[6] E. Vinberg, Los grupos de unidades de ciertas formas cuadráticas (ruso), Mat. Sbornik (N.S.) 87(129) (1972), 18-36

Answer 1

De hecho, la ecuación:

$X^2+Y^2+Z^2+R^2=W^2$

Las soluciones son así:

$X=2psabk^2+a^2k^2s^2-ckabs^2-abk^2s^2$

$Y=2psabk^2+a^2k^2s^2-ckabs^2+2abk^2s^2$

$Z=2psabk^2+a^2k^2s^2+2ckabs^2-abk^2s^2$

$R=2p^2b^2k^2+c^2b^2s^2+b^2k^2s^2-ckb^2s^2-a^2k^2s^2+2psabk^2$

$W=2p^2b^2k^2+2psabk^2+c^2b^2s^2+b^2k^2s^2-ckb^2s^2+2a^2k^2s^2$

Y la fórmula:

$X=2psabk^2+abk^2s^2+ckabs^2-a^2k^2s^2$

$Y=a^2k^2s^2-ckabs^2+2abk^2s^2-2psabk^2$

$Z=a^2k^2s^2+2ckabs^2-abk^2s^2-2psabk^2$

$R=2p^2b^2k^2+c^2b^2s^2+b^2k^2s^2-ckb^2s^2-a^2k^2s^2-2psabk^2$

$W=2p^2b^2k^2+c^2b^2s^2+b^2k^2s^2-ckb^2s^2+2a^2k^2s^2-2psabk^2$

Donde los números: $p,c,s,a,k,b$ enteros y nos establecen. Muy a menudo, después de una serie de sustituciones debe ser dividido por el máximo común divisor.