¿Existe una correspondencia de Galois para las extensiones de anillos?

Question

Dada una extensión de un anillo (conmutativo con la unidad), ¿es posible dar una noción "buena" de "grado de la extensión"? Por "bueno", estoy pensando en un grado que nos permita, por ejemplo, definir extensiones de anillos finitos y generalizar de alguna manera la correspondencia de Galois entre extensiones de campo y subgrupos del grupo de Galois.

Supongo que se puede llamar a una extensión del anillo $A\subset B\ $ finito si $B$ está finitamente generada como $A$ -y el grado sería el número mínimo de generadores, pero ¿basta esta noción para enunciar un teorema de correspondencia?

Gracias de antemano.

Answer 1

En efecto, existe una teoría de la extensión de Galois de los anillos. Véase, por ejemplo, el excelente artículo [Chase, S. U.; Harrison, D. K.; Rosenberg, Alex. Galois theory and Galois cohomology of commutative rings. Mem. Amer. Math. Soc. No. 52 1965 15--33. MR0195922 (33 #4118)] La teoría allí desarrollada sí incluye una correspondencia de Galois.

Existe incluso una teoría de Hopf-Galois, en la que el grupo de Galois se sustituye por un álgebra de Hopf (co)actuando sobre el anillo grande, para mayor diversión; sin embargo, la correspondencia en este caso es bastante más delicada/complicada.

Answer 2

Además de las referencias anteriores, me gustaría mencionar algunas extensiones no conmutativas de la teoría de Galois. Véase

P. M. Cohn, Skew Fields, Cambridge University Press, 1995

para la teoría de Galois de campos sesgados. Las extensiones a algunas clases de anillos no conmutativos se dan en el libro

V. K. Kharchenko, Noncommutative Galois theory, Novosibirsk, 1996,

disponible sólo en ruso, y muchos artículos de su autor, algunos de los cuales existen también en la traducción inglesa.

Answer 3

Para un "estudio" de la teoría de Galois de los anillos conmutativos, existe un libro:

Teoría de Galois separable Anillos conmutativos de Andy R. Magid (1974).

que contiene una bonita sección en la que se resume el estado del desarrollo hasta 1974.

También hay un libro más general que apunta a una teoría de Galois general al estilo de la teoría de topos (aunque no lo he leído) que incluye también un buen estudio:

Teorías de Galois de Francis Borceux y George Janelidze (2001).

Answer 4

Véase pregunta relacionada

y SGA1 así como Notas de Lenstra

y Artículo de Manjul Bhargava y Matt Satriano