¿Cómo demostrar que una secuencia no es convergente utilizando sólo la definición?

Question

Sea $X_n = \frac {3n^2}{2n-20}$ . Demuestra si es convergente o no utilizando la definición.

Lo sé. $X_n$ no es convergente y creo que es más fácil demostrar que no tiene límites, por lo que la secuencia no es convergente.

¿Cómo puedo demostrarlo sólo con la definición?

¿Encuentro un $\epsilon > 0$ tal que $\forall N $ si $ n>N$ puis $|X_n - L|>\epsilon$ ? Me confunde el uso del negativo de la definición

Answer 1

Sea $N'=11$ . Entonces para $n\ge N'$ tenemos

$$\frac{3n^2}{2n-20}>\frac{3n^2}{2n}=\frac{3n}2$$

Por lo tanto, para cualquier número $\epsilon>0$ tenemos

$$\frac{3n^2}{2n-20}>\epsilon$$

siempre que $n>\max\left(N',\frac23\epsilon\right)$ . ¡Y ya está!

Answer 2

Si $x_n$ es convergente, entonces $$\exists\ell\quad\forall\epsilon>0\quad\exists N\quad\forall n\ge N\quad |x_n-\ell|<\epsilon.$$ La negación de esto es: $$\forall\ell\quad\exists\epsilon>0\quad\forall N\quad\exists n\ge N \quad|x_n-\ell|\ge\epsilon.$$ Espero que vean el patrón de similitudes entre ambos. Para demostrar que se puede sustituir $\forall$ por "Let" y sustituir $\exists$ con una construcción. La afirmación de que $x_n$ es ilimitado es: $$\forall M\in\mathbb N\quad\forall N\quad\exists n\ge N \quad|x_n|\ge M.$$ ¿Es suficiente esta información para orientarle en la dirección correcta?

Answer 3

Un enfoque que veo es el siguiente:

Sea $n >10$ . Sabemos que $2n-20<2n\space$ lo que implica $$\space\frac{1}{2n}<\frac{1}{2n-20} \implies \space\frac{3n^2}{2n} = \frac{3n}{2}<\frac{3n^2}{2n-20}$$ y como ambas cantidades son positivas $$\left|\frac{3n}{2} \right| < \left|\frac{3n^2}{2n-20}\right| $$ para todos $n>10$ . Ahora demuestre que $\lim_{n \to \infty} \frac{3n}{2}$ no converge, y por comparación se puede demostrar $X_n$ no converge.