Ergodicidad de 2 procesos aleatorios ergódicos independientes

Question

Me pregunto si $\{X_i\}$ y $\{Y_i\}$ son 2 procesos independientes que son ergódicos, entonces $\{(X_i,Y_i)\}$ ser ergódico?

Creo que es el caso bajo el supuesto adicional de que los dos procesos son estacionarios, asintóticamente estacionarios (es decir. $\lim_{n\to\infty}P(T^{-n}E)$ existe) o asintóticamente estacionario medio (es decir. $\lim_{n\to\infty}n^{-1}\sum_{i=0}^{n-1}P(T^{-i}E)$ existe). Pero no he podido encontrar la manera de demostrarlo.

Edición: Por proceso ergódico entiendo que satisface $P(E)$ es 0 o 1 para todos los sucesos invariantes $E$ (los que cumplen $T^{-1}E=E$ ).

Edición #2: $T$ es la transformación de desplazamiento a la izquierda.

Answer 1

La aproximación de conjuntos mediante rectángulos no funciona en general, es decir, no basta para demostrar la ergodicidad de un sistema producto.

Como se señaló en el otro hilo https://mathoverflow.net/questions/196490/ergodicity-of-2-independent-ergodic-random-processes el resultado que buscas es falso incluso para un producto de rotaciones irracionales (uno de los ejemplos estándar en teoría ergódica).

Aquí los conjuntos invariantes de medida no trivial vienen dados por diagonales engrosadas ${(a,a+b): a\in[0,1), b\in[0,\varepsilon)}$ para $\varepsilon>0$ . Esas franjas diagonales no pueden aproximarse bien mediante rectángulos y, por tanto, falla la ergodicidad del producto, aunque ambos factores irracionales de rotación sean ergódicos.