¿Estoy en lo cierto sobre esta ODE?

Question

Tengo el siguiente problema:

Tenemos un circuito RLC en serie y me gustaría encontrar la función: $$\text{V}_{C}(t)$$ la tensión a través del condensador.

Dadas son las siguientes cosas:

• $$\text{V}_{\text{in}}(t)=20\space\text{V}$$
• $$\text{C}=4\space\text{F}$$
• $$\text{L}=1\space\text{H}$$
• $$\text{R}=5\space\Omega$$
• $$\text{I}_{C}(0)=-2\space\text{A}$$
• $$\text{V}_{C}(0)=10\space\text{V}$$
• $$\text{I}_{T}(t)=\text{I}_{R}(t)\space\text{is the total current}$$

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Mi trabajo:

$$\text{V}_{\text{in}}(t)=\text{V}_{R}(t)+\text{V}_{C}(t)+\text{V}_{L}(t)\Longleftrightarrow$$

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Sabiendo eso:

• $$\text{V}_{L}(t)=\text{LI}'_{L}(t)=\text{LI}'_{T}(t)$$
• $$\text{I}_{C}(t)=\text{I}_{T}(t)=\text{CV}'_{C}(t)\to\text{I}'_{C}(t)=\text{I}'_{T}(t)=\text{CV}''_{C}(t)$$

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$$\text{V}_{\text{in}}(t)=\text{RI}_{T}(t)+\text{V}_{C}(t)+\text{LI}'_{T}(t)\Longleftrightarrow$$ $$\text{V}_{\text{in}}(t)=\text{R}\cdot\text{CV}'_{C}(t)+\text{V}_{C}(t)+\text{L}\cdot\text{CV}''_{C}(t)\Longleftrightarrow$$ $$\text{V}_{\text{in}}(t)=\text{CRV}'_{C}(t)+\text{V}_{C}(t)+\text{CLV}''_{C}(t)$$

Así que el problema se convierte en:

$$ \begin{cases} 20\text{V}'_{C}(t)+\text{V}_{C}(t)+4\text{V}''_{C}(t)=20\\ \text{V}_{C}(0)=10\\ 4\text{V}'_{C}(0)=-2 \end{cases} $$

Answer 1

Eso significa que está buscando un modelo de espacio de estados de una red R-L-C. Sería mejor que utilizaras la transformada de Laplace.