Aplicaciones de las EDP a temas matemáticos distintos de la geometría y la topología

Question

Las ecuaciones diferenciales parciales se han utilizado para establecer resultados fundamentales en matemáticas, como el teorema de uniformización, la teoría de Hodge-deRham, el teorema de la incrustación de Nash, el teorema de Calabi-Yau, el teorema de la masa positiva, el teorema de Yamabe, la teoría de Donaldson de los 4manifolds lisos, la estabilidad no lineal del espacio-tiempo de Minkowski, la desigualdad de Penrose en Riemann, la conjetura de Poincaré en 3D y el teorema de la esfera diferenciable. Todos estos ejemplos proceden de la geometría y la topología, y he intentado encontrar ejemplos similares en otras ramas de las matemáticas sin suerte. Puedo imaginar por qué la geometría y la topología pueden ser susceptibles de PDE, pero esto no significa que la PDE no pueda encontrar aplicaciones en otras ramas. He preguntado a probabilistas y me han dicho que la mayoría de los ejemplos que se les ocurren parecen ser al revés, es decir, utilizar la teoría de la probabilidad para decir algo sobre la EDP. ¿Puedes dar un ejemplo, o dar una razón por la que tales ejemplos deben limitarse a la geometría y la topología.

La razón por la que hago esta pregunta es que a la mayoría de los estudiantes de "matemáticas puras" no parecen gustarles los cursos de EDP, pensando que es una asignatura "aplicada" y que, por tanto, no tiene nada que ver con ellos. Mi impresión es que, por ejemplo, los estudiantes de geometría algebraica o diferencial obtienen de algún modo su "propia versión" de la teoría de las EDP a partir de libros especializados en su materia, adaptados específicamente al problema en cuestión. Sería mucho más fácil y metódico si el estudiante hubiera hecho antes un curso general de EDP. Así que pensé que este tipo de lista podría ser útil para convencer al estudiante principiante de tomar clases de PDE. Tal y como está la lista ahora, tenemos suficiente para estudiantes de geometría/topología y quizás de física matemática, pero sería genial, por ejemplo, tener algo para estudiantes de probabilidad, teoría de números, análisis y álgebra.

Answer 1

Klainerman escribe en PDE como asignatura unificada

...la gama de aplicaciones de las EDP específicas es fenomenal. de hecho, muchas de nuestras ecuaciones básicas están en el corazón de campos Matemáticas o Física como el Análisis Complejo, Varias Variables Complejas, Superficies Mínimas, Mapas Armónicos, Conexiones en Paquetes Principales, Geometría Kahleriana y de Einstein, Flujos Geométricos, Hidrodinámica, Elasticidad, Relatividad General, Electrodinámica, Mecánica Cuántica no relativista, etc. Otros temas importantes de Matemáticas, como Análisis Armónico, Teoría de la Probabilidad y diversas áreas de la Física están íntimamente ligadas a ecuaciones de tipo elíptico, parabólico, hiperbólico o de Schrodinger. de Schrodinger. Ecuaciones geométricas específicas como los operadores de Laplace-Beltrami y operadores de Dirac en variedades, sistemas de Hodge, curvas pseudoholomórficas, Yang-Mills y recientemente Seiberg-Witten, han demostrado ser extraordinariamente útiles en Topología y Geometría Simpléctica. La teoría de sistemas integrables ha resultado tener profundas aplicaciones en Geometría Algebraica; La teoría espectral de los operadores de Laplace-Beltrami, así como la teoría de la dispersión de las ecuaciones de onda, están íntimamente relacionadas. de las ecuaciones de onda están íntimamente ligadas al estudio de las formas en Teoría de Números. (p. 2)

Answer 2

Probabilidad: Las EDP están muy presentes en los problemas relacionados con el filtrado óptimo. Por ejemplo, la ecuación de Kushner-Stratanovich de filtrado no lineal. Varios de los resultados del tipo de filtrado óptimo se abordan formando un funcional de costes y reduciendo el problema a una EDP de Euler-Lagrange.

Tengo la impresión de que la EDP de Euler-Lagrange es omnipresente en muchas áreas de las matemáticas, aunque mi experiencia se centra sobre todo en la dinámica hamiltoniana, los sistemas dinámicos y la teoría de la estimación.

Answer 3

No sé si esto cuenta, pero ¿no hay un montón de resultados interesantes en combinatoria sobre análogos discretos de las EDP? Estoy pensando, por ejemplo, en el teorema de Stone para la ecuación discreta de Schrodinger; la caracterización de espectros de grafos; y cómo algunas soluciones de la Laplaciana discreta/Helmholtz discreto/Helmholtz discreto modificado conducen a instancias especiales de diagramas de Dynkin de ADE.