Aplicaciones de las EDP a temas matemáticos distintos de la geometría y la topología

Question

Las ecuaciones diferenciales parciales se han utilizado para establecer resultados fundamentales en matemáticas, como el teorema de uniformización, la teoría de Hodge-deRham, el teorema de la incrustación de Nash, el teorema de Calabi-Yau, el teorema de la masa positiva, el teorema de Yamabe, la teoría de Donaldson de los 4manifolds lisos, la estabilidad no lineal del espacio-tiempo de Minkowski, la desigualdad de Penrose en Riemann, la conjetura de Poincaré en 3D y el teorema de la esfera diferenciable. Todos estos ejemplos proceden de la geometría y la topología, y he intentado encontrar ejemplos similares en otras ramas de las matemáticas sin suerte. Puedo imaginar por qué la geometría y la topología pueden ser susceptibles de PDE, pero esto no significa que la PDE no pueda encontrar aplicaciones en otras ramas. He preguntado a probabilistas y me han dicho que la mayoría de los ejemplos que se les ocurren parecen ser al revés, es decir, utilizar la teoría de la probabilidad para decir algo sobre la EDP. ¿Puedes dar un ejemplo, o dar una razón por la que tales ejemplos deben limitarse a la geometría y la topología.

La razón por la que hago esta pregunta es que a la mayoría de los estudiantes de "matemáticas puras" no parecen gustarles los cursos de EDP, pensando que es una asignatura "aplicada" y que, por tanto, no tiene nada que ver con ellos. Mi impresión es que, por ejemplo, los estudiantes de geometría algebraica o diferencial obtienen de algún modo su "propia versión" de la teoría de las EDP a partir de libros especializados en su materia, adaptados específicamente al problema en cuestión. Sería mucho más fácil y metódico si el estudiante hubiera hecho antes un curso general de EDP. Así que pensé que este tipo de lista podría ser útil para convencer al estudiante principiante de tomar clases de PDE. Tal y como está la lista ahora, tenemos suficiente para estudiantes de geometría/topología y quizás de física matemática, pero sería genial, por ejemplo, tener algo para estudiantes de probabilidad, teoría de números, análisis y álgebra.

Answer 1

Como alude Qiaochu Y. más arriba, y como puedo atestiguar personalmente, las EDP surgen en la teoría moderna de las formas automórficas. Superficialmente/históricamente, esto podría verse como una generalización formal de "holomorfo" a "función propia del operador de Laplace-Beltrami". De hecho, ya hacia 1947, Maass demostró que real Las funciones L de carácter bruto de los campos cuadráticos surgieron como transformadas de Mellin de "formas de onda", funciones propias de Laplace-Beltrami en $\Gamma\backslash H$ un resultado complementario al resultado de su asesor Hecke de que $L$ -funciones para complejo extensiones cuadráticas de $\mathbb Q$ surgió de holomorfo formas modulares.

La teoría espectral de las formas automórficas, de Avakumovic, Roelcke y Selberg c. 1956, descompone en efecto $L^2(\Gamma\backslash H)$ con respecto al invariante Laplaciano, descendiente del operador Casimir sobre el grupo $SL_2(\mathbb R)$ que (anticipando teoremas de Harish-Chandra) casi corresponde exactamente a la descomposición en representaciones unitarias irreducibles.

La fórmula de la traza de Selberg, y las de Langlands y Arthur, así como la fórmula de la traza "relativa" de Jacquet, permiten una interpretación como descomposiciones espectrales de diversos operadores integrales, en lugar de operadores diferenciales. No obstante, o "sin embargo", algunos aspectos de la situación que son torpes, por sus características "extremas", pero interesantes para las aplicaciones por la misma razón, desde ese punto de vista son susceptibles de pensar en soluciones de EDP (invariantes) no homogéneas con "objetivos" distribucionales. Un escenario típico es una ecuación de "Helmholtz" (una ecuación de onda transformada de Fourier en el parámetro tiempo), $(\Delta-\lambda)u=f$ . Entre otros casos de interés, el caso que $f$ es un delta (automórfico) es muy útil en diversas aplicaciones de la teoría de números, como demostrar límites "subconvexos": Anton Good esbozó esta aplicación ya en 1983 (y Diaconu y yo tratamos $GL_2$ sobre campos numéricos recientemente... utilizando implícitamente esta idea, aunque la referencia a las funciones especiales clásicas dio un argumento más corto para la versión oficial).

Filosofando un poco, tales experiencias, y las continuas de un tipo relacionado, me indican que las "EDP" geométricamente significativas, es decir, invariantes de grupo, son una extensión natural/obvia del "cálculo"... de modo que, en particular, sus soluciones naturales en espacios de Sobolev (etc) son "objetos naturales", sean o no funciones especiales clásicas, o enteramente elementales.

(Uno no puede dejar de observar que existe una comprensible, aunque desafortunada, tendencia humana a declarar y entender el "territorio", de modo que uno elige el suyo propio y se mantiene alejado del de los demás. Del mismo modo, los "expertos" en el tema X no favorecen que los forasteros se apropien de fragmentos del mismo "para aplicaciones", como si algo que no sea una dedicación de toda la vida pudiera penetrar en los misterios... Se puede leer sobre los "gremios" europeos medievales y la protección de sus "secretos").

Como filosofar metodológico: mi propia experiencia me dice que los medios de descripción son útiles. Es decir, la caracterización estructural y significativa de los objetos es buena. Decir que algo es una solución de una EDP natural (¿invariante de grupo?...) es un fuerte, significativo restricción. Ergo, útil/buena.

La pequeña perorata del final: el estilo habitual de estrechez aparentemente respetuosa con las torres no es tan bueno para el progreso genuino, ni siquiera para la comprensión individual.

Answer 2

Las ecuaciones de Monge-Amp`ere aparecen no sólo en geometría, sino también en economía (aunque no puedo opinar sobre su importancia en ese área debido a la falta de mi educación en economía), a saber, en el llamado Problema de Monge-Kantorovich . Por cierto, Leonid Kantorovich fue un matemático y economista que recibió un Premio Nobel de Economía.

El problema es el siguiente. Sea $\mu_1,\mu_2$ sean dos probabilidades en $\mathbb{R}^n$ . Buscamos un mapa medible $f\colon \mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n$ tal que $f_*(\mu_1)=\mu_2$ (donde $f_*$ es el avance habitual en medidas), y $f$ minimiza ciertos costes funcionales.

Brenier ha demostrado la existencia de un mapa de este tipo (llamado ahora mapa de Brenier de Brenier) bajo condiciones apropiadas sobre las medidas y la funcional; redujo el problema a la resolubilidad de cierta ecuación de ecuación de Monge-Amp`ere. Otras personas demostraron cierta regularidad de la solución.

El mapa de Brenier fue aplicado por F. Barthe en un área completamente completamente diferente: para demostrar una nueva desigualdad funcional llamada desigualdad inversa de Brascamp-Lieb (véase "On a reverse form of the Brascamp-Lieb", Invent. Math. 134 (1998), no. 2, 335--361). También obtuvo con su método una nueva demostración de la conocida desigualdad de Brascamp-Lieb. Además, en el mismo artículo, Barthe dedujo de su desigualdad funcional una nueva propiedad isoperimétrica del simplex y paralelotopo: el simplex es el ÚNICO cuerpo convexo con volumen mínimo, mientras que el paralelótopo es el ÚNICO cuerpo convexo cuerpo convexo centralmente simétrico con una relación de volumen mínima. (Anteriormente K. Ball ha demostrado estas propiedades de minimalidad de simplex y paralelotopo sin probar la unicidad, usando una técnica diferente. técnica). Recuerda que la razón de volumen de un cuerpo convexo es, por definición, la relación entre su volumen y el volumen del elipsoide de volumen máximo contenido en él.

Posteriormente otros autores aplicaron el mapa de Brenier para obtener nítidas en otras desigualdades funcionales.

Answer 3

Las EDP parabólicas y sus generalizaciones proporcionan construcciones analíticas de procesos de Markov. Véase, por ejemplo, K. Taira, Semigroups, Boundary Value Problems and Markov Processes, Springer, 2004, o N. Jacob, Pseudo-differential operators and Markov processes, Vols 1-3, Imperial College Press, Londres, 2001-2005.

Algunas ecuaciones elípticas aparecen en el análisis armónico no conmutativo y en la teoría de la representación (con otras aplicaciones en teoría de números). Véase S. Lang. $SL_2(\mathbb R)$ Addison-Wesley, 1975.

Answer 4

Asumo que los temas no matemáticos, como la física, no cuentan --- allí las ecuaciones de calor, onda, Schrödinger, KdV, ecuación de onda de agua, Navier-Stokes, Helmholtz, ..., son todos objetos bastante importantes. De hecho, la mayoría de las EDP que podría nombrar estarían relacionadas con la física de algún modo. Yo diría que la mayoría de las EDP van en esta dirección.

En cierto sentido, todo el campo del análisis complejo se reduce a comprender realmente las soluciones de una EDP; creo que estará de acuerdo conmigo en que el análisis complejo es un campo bastante amplio, con multitud de aplicaciones propias.

PDE ha creado una serie de herramientas de uso universal en el análisis. Por ejemplo, la transformada de Fourier, que tiene una amplia gama de aplicaciones en el análisis, por no hablar de las generalizaciones, por ejemplo, el mapa de Gelfand, se desarrolló como una herramienta para resolver la ecuación de onda. Otra es la convolución (que supongo que también procede de la EDP) y junto con ella una variedad de funciones densas, bonitas particiones de la unidad, etc., junto con nociones de convergencia que también son muy útiles en una variedad de contextos. Cosas como el núcleo de Poisson y la transformada de Hilbert se han convertido en ejemplos prototípicos en operadores integrales.

Las EDP en general son bastante difíciles, por lo que es probable que cualquier EDP en particular tenga un alcance bastante limitado. Por eso, muchos de los resultados más interesantes son herramientas para resolver problemas y no soluciones específicas.

Answer 5

En principio, un gran conjunto de la teoría de funciones (es decir, la teoría de funciones complejas diferenciables) es la aplicación de los resultados para funciones armónicas:

• propiedad del valor medio
• analticidad
• Teorema de Liouville
• principio de máximos