Progresiones aritméticas de cuadrados

Question

Fermat puede o no haber sabido que existen progresiones aritméticas de 3 términos de cuadrados (como $1^2, 5^2, 7^2$ y que no hay AP de 4 mandatos. Dejando a un lado la turbia historia, Keith Conrad tiene dos amenas exposiciones ( ici y ici ) que ofrece un tratamiento moderno de esta cuestión desde un punto de vista algebraico.

Una pregunta combinatoria natural es: ¿cuán grande puede ser un subconjunto de $\{1^2,2^2,\dots,n^2\}$ ser y aún así no tener AP de 3 términos? En este documento demostré que hay subconjuntos de tamaño $$\gg n c^{-\sqrt{\log\log n}},$$ donde $c=2^{\sqrt{8}}$ pero no conozco un límite superior.

¿Existe un subconjunto de las plazas con densidad relativa positiva que esté libre de PA de 3 términos?

Answer 1

Probablemente no, pero una prueba es inútil. Ruzsa y Gyarmati tienen un preprint en el que construyen tal subconjunto de tamaño algo como $N/\log \log N$ .

Incluso la versión de colorear (es decir, colorear finitamente los cuadrados, ¿una de las clases contiene una progresión de 3 términos) está abierta. Una cuestión muy relacionada (el teorema de Schur en los cuadrados) se plantea explícitamente como Pregunta 11 en este trabajo de Bergelson:

http://www.math.iupui.edu/~mmisiure/open/VB1.pdf

Es posible demostrar que un subconjunto de densidad positiva de los cuadrados contiene una solución a $\frac{1}{4}(x_1 + x_2 + x_3 + x_4) = x_5$ adaptando la técnica de arXiv:math/0302311. Tengo que admitir que esto es algo más que un cálculo aproximado :-)