Teorema de la representación de Stone y teorema de la compacidad

Question

Si estás trabajando en $\mathsf {ZF}$ y se asume el teorema de la compacidad para la lógica proposicional, entonces se tiene el teorema del ideal primo, y así se puede demostrar que el dual de la categoría de álgebras booleanas es equivalente a la categoría de Hausdorff $0$ -espacios dimensionales.

Existe un functor natural $F$ que produce la equivalencia, es decir, el functor covariante $F$ dado por $F(\mathbb B)=S(\mathbb B)$ el espacio de piedra de $\mathbb B$ y para un homomorfismo de álgebras booleanas $f:\mathbb A\rightarrow \mathbb B$ consideramos la función continua $F(f):S(\mathbb B)\rightarrow S(\mathbb A)$ dado por $F(f)(u)=\{a\in \mathbb A: f(a)\in u\}$ para todos los ultrafiltros $u$ de $\mathbb B$ .

Entonces, mi pregunta es, si sólo estamos asumiendo $\mathsf {ZF}$ y tienes que el dual de la categoría de álgebras booleanas es equivalente a la categoría de Hausdorff $0$ -En el caso de los espacios adimensionales, ¿se cumple el teorema de la compacidad de la lógica proposicional?

Gracias

Answer 1

Dejemos que $\textbf{Bool}$ sea la categoría de las álgebras booleanas, y sea $\textbf{Stone}$ sea la categoría de los espacios de piedra (como quiera que se defina). Supongamos que $F : \textbf{Bool}^\textrm{op} \to \textbf{Stone}$ es una equivalencia débil de categorías (es decir, totalmente fiel y esencialmente suryectiva sobre los objetos); deduciremos el teorema del ideal primo booleano.

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $\textbf{Bool}$ tiene un objeto inicial, a saber, el álgebra booleana $2 = \{ 0, 1 \} = \mathscr{P}(1)$ y tiene un objeto terminal, el álgebra booleana $1 = \{ 0 \} = \mathscr{P}(\emptyset)$ . Desde $F$ es una equivalencia débil, $F(2)$ debe ser un objeto terminal (por tanto, un espacio de un punto) y $F(1)$ debe ser un objeto inicial (el espacio vacío). [Es muy fácil comprobar estas propiedades de conservación incluso en ausencia de un cuasi-inverso para $F$ .]

Dejemos que $B$ sea un álgebra booleana. Claramente, los ideales primos de $B$ corresponden a homomorfismos del álgebra booleana $B \to 2$ y, por tanto, a los mapas continuos $F(2) \to F(B)$ que son lo mismo que los puntos de $F (B)$ . Pero si $F (B)$ está vacío, entonces el mapa canónico $F(1) = \emptyset \to F(B)$ es un homeomorfismo, por lo que el homomorfismo canónico $B \to 1$ es un isomorfismo. [De nuevo, esto es fácil de comprobar incluso en ausencia de un cuasi-inverso para $F$ .] Por lo tanto, $B$ tiene un ideal primo si y sólo si es no trivial.