¿Cuál es la razón por la que $\int_{-\infty}^{\infty}f(x) \Bbb dx$ puede no ser lo mismo que $\lim_{b \to \infty} \int_{-b}^{b}f(x) \Bbb dx$ ?

Question

Pregunta dada:

Calculus by Thomas, Chp 8, pg 501, No. 66:

$\int_{-\infty}^{\infty}f(x) \Bbb dx$ puede no ser igual a $\lim_{b \to \infty} \int_{-b}^{b}f(x) \Bbb dx$ Demuestra que $$\int_{0}^{\infty} \frac{2x\Bbb dx}{x^2 + 1}$$ diverge y, por tanto que $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{2x\Bbb dx}{x^2 + 1}$$ diverge. Entonces demuestre que $$\lim_{b\to \infty} \int_{-b}^{b} \frac{2x\Bbb dx}{x^2 + 1} = 0$$

Mi intento:

$$\begin{align} \int_{0}^{\infty} \frac{2x\Bbb dx}{x^2 + 1} &= \ln\left(x^2+1\right)\Bigg|_0^{\infty}\\ &= \ln(\infty)-\ln(1)\\ &= \infty \quad \text{(Diverges)} \end{align}$$

Desde $\int_{0}^{\infty} \frac{2x\Bbb dx}{x^2 + 1}$ diverge, entonces $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{2x\Bbb dx}{x^2 + 1}$ también diverge.

En cuanto a la segunda pregunta:

$$\begin{align} \lim_{b\to \infty} \int_{-b}^{b} \frac{2x\Bbb dx}{x^2 + 1} &= \lim_{b\to \infty} \ln\left(x^2+1\right)\Bigg|_{-b}^{b}\\ &= \lim_{b\to \infty} \ln\left(b^2+1\right) - \lim_{b\to \infty} \ln\left(b^2+1\right)\\ &= 0\quad \text{(Converges)} \end{align}$$

Aquí me siento confuso. ¿Significa eso $f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$ es un contraejemplo de $\int_{-\infty}^{\infty}f(x) \Bbb dx = \lim_{b \to \infty} \int_{-b}^{b}f(x) \Bbb dx$ ¿O qué? ¿Y converge?

Por favor, explícamelo. Gracias.

Answer 1

Sus preguntas son el objetivo del ejercicio. Definimos $$\int_{-\infty}^{\infty}f(x) \Bbb dx = \lim_{b \to \infty} \int_{-b}^{0}f(x) \Bbb dx+ \lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b}f(x) \Bbb dx$$ que requiere que cada límite exista por separado. Has demostrado que uno de ellos diverge, lo que significa que el de la izquierda también diverge. Cuando se toma el límite simétrico $ \lim_{b \to \infty} \int_{-b}^{b}f(x) \Bbb dx$ estás integrando una función impar sobre un intervalo simétrico alrededor de $0$ por lo que la integral es constantemente $0$ y converge bien. El problema es que esto es un artefacto del uso del intervalo simétrico. Se podría hacer un $u$ sustitución que hace que el intervalo sea asimétrico en $x$ y la integral divergirá. Por eso exigimos que los límites unilaterales converjan por separado.

En el caso en el que el límite simétrico converge llamamos al límite el Valor principal de Cauchy . A veces es útil.

Answer 2

Su respuesta a la segunda pregunta es más complicada de lo necesario e incluye una falsedad : $\lim (A - B) = \lim(A) - \lim(B)$ sólo si existen los dos límites de la derecha, lo que no ocurre en tu respuesta.

Realizar el cambio de variable $x \mapsto -x$ en cualquier integral sobre la mitad del intervalo para descubrir \begin{align*} \int_{-b}^b \frac{2x\,\mathrm{d}x}{x^2 + 1} &= \int_{-b}^0 \frac{2x\,\mathrm{d}x}{x^2 + 1} + \int_0^b \frac{2x\,\mathrm{d}x}{x^2 + 1} \\ &= \int_{-b}^0 \frac{2x\,\mathrm{d}x}{x^2 + 1} + \int_0^{-b} \frac{-2x}{x^2 + 1} \cdot (-1) \mathrm{d}x \\ &= \int_{-b}^0 \frac{2x\,\mathrm{d}x}{x^2 + 1} + -\int_{-b}^0 \frac{2x\,\mathrm{d}x}{x^2 + 1} \\ &= 0 \text{.} \end{align*} Entonces, por supuesto, $\lim_{b \rightarrow \infty} 0 = 0$ .

Esto demuestra que, aunque puede haber un manera que podemos equilibrar cuidadosamente integrales divergentes en direcciones opuestas para dar una respuesta aparentemente finita, no hacemos eso genéricamente en la definición de una integral impropia. En la definición, exigimos que cada lado de cada comportamiento impropio se asigne a un límite y que esos varios límites existan independientemente.

Puede ser útil comparar/contrastar la aplicación de la definición de la integral impropia, $$ \int_{-1}^1 \frac{\mathrm{d}x}{x} = \lim_{a \rightarrow 0^-} \int_{-1}^a \frac{\mathrm{d}x}{x} + \lim_{b \rightarrow 0^+} \int_{b}^1 \frac{\mathrm{d}x}{x} \text{,} $$ donde requerimos que cada uno de estos dos límites (independientes) existan, para atar los dos límites juntos para arreglar disimuladamente la cancelación en cada paso, $$ \int_{-1}^1 \frac{\mathrm{d}x}{x} \neq \lim_{a \rightarrow 0^-} \left( \int_{-1}^a \frac{\mathrm{d}x}{x} + \int_{-a}^1 \frac{\mathrm{d}x}{x} \right) = 0 \text{.} $$

Tal vez ayude si escribimos la versión que utiliza dos límites como una versión que utiliza "un" límite (utilizando la idea de que el punto $(a,b)$ en el avión se le permite vagar siempre y cuando $a$ está siempre en el semiplano izquierdo, $b$ está siempre en el semiplano superior, por lo que el punto está en el segundo cuadrante, y el punto va a $(0,0)$ ), $$ \int_{-1}^1 \frac{\mathrm{d}x}{x} = \lim_{(a,b) \rightarrow (0^-, 0^+)} \left( \int_{-1}^a \frac{\mathrm{d}x}{x} + \int_{b}^1 \frac{\mathrm{d}x}{x} \right) \text{.} $$ Esto dice exactamente lo mismo que la versión directamente de la definición de la integral impropia. También dice que $a$ y $b$ llegar a sus límites de forma independiente. Lo hace no decir que el punto $(a,b)$ debe situarse en la curva a que provoca la cancelación cuidadosamente ajustada de las dos integrales.

Otra fragilidad de la versión forzada a ser simétrica es la siguiente: Se trata de integrales, que son límites de sumas de Riemann. Para conseguir que la cancelación detallada funcione también en las sumas de Riemann, requeriríamos (genéricamente) que la partición para una integral sea la imagen especular de la partición en la otra integral. Debe quedar claro que tiene nunca requiere que las particiones en los límites de dos integrales tengan alguna relación -- cada integral vaga independientemente por el entramado de particiones hacia particiones con diámetro $0$ . Análogamente, para las integrales impropias, los límites en dos límites diferentes son independientes, las dos variables límites no tienen ninguna relación -- cada límite vaga independientemente por su semirrecta hacia su objetivo.